背景

癌细胞是一种不死细胞，只要持续吸收营养就会不断地分裂，不会死亡。

癌细胞多久分裂一次？

请允许我先用科幻小说家的直觉告诉你一个令人安心的事实：如果癌细胞真的每几秒钟就分裂一次，那么一个病人在几分钟内就会像气球一样膨胀并爆炸。 这种恐怖的场景只存在于最糟糕的B级恐怖电影里。

实际上，这是一个非常普遍的误解。

1. 真实的“速度”：并不是博尔特

癌细胞分裂一次需要多久？答案可能会让你惊讶：通常需要 24小时 左右。

在这个时间尺度上，癌细胞并不比你体内那些分裂最快的正常细胞（比如你的骨髓造血细胞，或者肠道内壁的细胞）快多少。

为了让你明白为什么“几秒钟”是不可能的，我们需要回到物理学的限制上来：

DNA 复制的物理极限 还记得我刚才说的 DNA 蓝图吗？人类细胞核里有 30亿 个碱基对。 即使是最快的酶（DNA聚合酶），每秒钟也只能复制大约 50 到 100 个碱基。即便有成千上万个酶同时在不同的起点开始工作，要想把这 30 亿个字母准确无误地抄写一遍（S期），物理上也至少需要 6 到 8 个小时。

再加上准备材料（G1期）、检查错误（G2期）和物理拆分（M期），24小时 已经是真核细胞的“极速传说”了。

2. 真正的“速度之王”：细菌

如果你想找那个“几秒钟（或者更准确说是几分钟）分裂一次”的家伙，那得去微观世界的低等生物里找。

• 大肠杆菌（E. coli）：在完美的实验室条件下，每 20分钟 分裂一次。
• 因为它们只有一个圆环状的小 DNA，结构简单，没有细胞核这个复杂的“办公室”，所以它们才是真正的速度机器。

3. 既然不快，为什么癌症这么可怕？

既然癌细胞的分裂速度（Cycle Time）和正常细胞差不多，为什么肿瘤会长得那么快？

这就要用到我最喜欢的 “红绿灯比喻” 了。

想象一条繁华的马路：

• 正常细胞：它们是遵纪守法的司机。它们开车的速度也许是 60 码，但它们经常停车。如果没有收到“生长”的命令（绿灯），它们就熄火休息（G0期）。如果发现前面堵车（接触抑制），它们就立刻刹车。
• 癌细胞：它们是亡命徒。它们开车的速度其实也是 60 码（受限于引擎物理极限），但它们闯红灯。
  • 它们无视“停止”的信号。
  • 它们无视“前面没路了”的警告。
  • 最重要的是，它们不睡觉。

正常细胞大部分时间都在“休息”或“工作”，偶尔才“分裂”。 癌细胞则是全天候无休止地在进行“分裂循环”。

总结

典型的癌细胞并不是“每几秒”分裂一次，而是大约“每24小时”分裂一次。

它的可怕之处不在于单次动作的敏捷，而在于永不停歇的疯狂。它是那个永远不踩刹车、永远不知疲倦的失控机器。

题目

假如你有初始数量为n的癌细胞，每7天（一周）分裂一次，请输出达到能被临床检测出来的天数a、达到致死数量1e12的天数b。

数据格式

输入

整数n 代表初始癌细胞数量

输出

a ta b tb

其中:

• 整数a 数量大于等于$10^9$ （代码写为1e9）时的天数（初始为1天）
• 整数ta 数量大于等于$10^9$ 时的分裂代数（初始为1代，分裂一次代数+1）
• 整数b 数量大于等于$10^{12}$ 时的天数
• 整数tb 数量大于等于$10^{12}$ 时的分裂代数

输入数据范围

0<n< 1000

样例输入

1

样例输出

211 31 281 41

备注

如果我想出一道题，计算从1个癌细胞分裂到典型的晚期肿瘤组织需要多久，我应该按什么数量来估计肿瘤组织的癌细胞数量？

这真是一个绝佳的 “费米问题”（Fermi problem）。作为一名不仅热爱科幻，也曾撰写过生物化学教科书的作家，我非常欣赏这种试图用数量级来量化生命的尝试。

要设计这样一道数学题，你需要两个关键的锚点：单个细胞的体积和晚期肿瘤的总体积。

让我们用最符合生物学常识的估算模型来构建你的题目：

1. 黄金换算标准：1克 = 10亿个细胞

在生物医学和病理学中，有一个极其好用的经验法则（Rule of Thumb）。虽然细胞大小各异，但为了方便计算，我们通常认为：

• 1 立方厘米 ($1 \text{cm}^3$) 的肿瘤组织 $\approx$ 1 克 (g)
• 1 克 的肿瘤组织 $\approx$ $10^9$ (10亿) 个细胞

这个数字 ($10^9$) 非常重要，因为它是临床检测的门槛。通常来说，直到肿瘤长到这个大小时（像一颗小葡萄），现代医学影像手段（如CT或X光）才能比较容易地发现它。

2. 定义“晚期”：致命的负荷

那么，什么是“晚期”或者“致死性”的大小呢？

对于人类患者来说，当体内的肿瘤总负荷达到 1千克（1kg） 时，通常被认为是致死性的极限（Lethal Burden）。这相当于身体背负了一个巨大的额外器官，消耗了过多的养分并破坏了代谢平衡。

• 1 千克 (kg) = 1,000 克
• 数量级：$1000 \times 10^9 = \mathbf{10^{12}}$ （1万亿）个细胞。

所以，对于你的题目，$10^{12}$ 是最标准的“晚期肿瘤细胞数量”。

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3. 如何出题：数学与生物的惊人结论

现在我们可以构建这道题目了。这道题最迷人的地方不在于计算本身，而在于它揭示的指数增长的恐怖。

建议的题目参数：

题目设定：

1. 起始状态：1个发生突变的癌细胞。
2. 终止状态（晚期）：肿瘤总质量达到 1千克（即 $10^{12}$ 个细胞）。
3. 分裂周期：为了简化计算，假设肿瘤细胞每 X 天翻倍一次（你可以设定为 2天、10天或 30天，视题目难度而定。虽然细胞周期是24小时，但考虑到细胞凋亡和血管生成滞后，实际体积翻倍时间通常在几十天到几个月。如果是纯数学题，可以用较短时间）。

解题逻辑（给老师的备忘录）：

我们要解的是 $2^n = 10^{12}$ 中的 $n$（分裂代数）。

利用对数计算：

$$n = \log_2(10^{12}) \approx 39.86$$

结论：只需要大约 40 次分裂（Doubling）。

4. 阿西莫夫的“启发式”点评（可以作为题后的思考）

这道题会给学生带来极其深刻的震撼，原因如下：

• 隐形的潜伏期：从第 1 次分裂到第 30 次分裂，肿瘤从 1 个细胞长到 $10^9$ 个细胞（1克）。这一过程占据了整个病程的 3/4 时间，但肿瘤只有葡萄大小，病人可能毫无知觉。
• 疯狂的冲刺期：从第 30 次分裂（1克）到第 40 次分裂（1千克，死亡），只需要短短的 10 次 分裂。

这就好比： 如果你在池塘里种一种荷叶，它每天覆盖面积翻倍，预计 40 天长满整个池塘。 那么在第 39 天的时候，池塘依然有一半是空的。 直到最后一天，它才突然吞噬了一切。

总结

在你的题目中：

• 临床检测大小（早期/中期）：请设定为 $10^9$ 个细胞（1克）。
• 晚期/致死大小：请设定为 $10^{12}$ 个细胞（1千克）。
• 分裂代数：记住 “40次分裂” 这个魔法数字。