阿西莫夫的解题指南

这道题是物理与计算机科学的完美结合点。

1. 矢量的加法：学生必须明白，不能直接把每个力的模长加起来（那是标量加法）。必须分量相加。x 加 x，y 加 y。
2. 数据类型的陷阱：
   • $N$ 最大 $10^5$，每个分量最大 $1000$。
   • 总分量最大可达 $10^8$。
   • 计算模长时需要平方：$(10^8)^2 = 10^{16}$。
   • $10^{16}$ 远远超过了 int 的上限（约 $2 \times 10^9$）。
   • 关键点：在计算平方和时，必须使用 long long 类型，否则会发生溢出错误（Overflow）。

C++ 标准解答与数据生成器

以下代码包含 Solution (标准解答) 和 Generator (数据生成器)。 请保存为 gen_force.cpp 并运行。

/**
 * Problem: Zero-G Tug-of-War (Vector Addition)
 * Author: Isaac Asimov (AI)
 * Concept: Vector Components, Pythagorean Theorem, Integer Overflow Prevention
 */

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <iomanip>
#include <fstream>
#include <random>
#include <string>

using namespace std;

// ==========================================
// Part 1: 标准解答逻辑 (The Solver)
// ==========================================
class Solution {
public:
    void solve(string in_file, string out_file) {
        ifstream cin(in_file);
        ofstream cout(out_file);
        
        if (!cin.is_open()) return;

        int n;
        cin >> n;

        // 使用 long long 防止累加过程中溢出 (虽然 n*1000 不会爆 int，但好习惯)
        long long sum_x = 0;
        long long sum_y = 0;

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int x, y;
            cin >> x >> y;
            sum_x += x;
            sum_y += y;
        }

        // 关键：计算平方时必须用 long long
        // sum_x^2 可能达到 (10^5 * 10^3)^2 = 10^16，超过 int 范围
        long long sq_sum = sum_x * sum_x + sum_y * sum_y;
        
        // 开根号得到模长
        double magnitude = sqrt((double)sq_sum);

        cout << fixed << setprecision(2) << magnitude << endl;
        
        cin.close();
        cout.close();
        cout << "Generated: " << out_file << endl;
    }
};

// ==========================================
// Part 2: 数据生成逻辑 (The Generator)
// ==========================================
mt19937 rng(2025);

int rand_int(int min, int max) {
    uniform_int_distribution<int> dist(min, max);
    return dist(rng);
}

void generate_input(int case_id) {
    string filename = to_string(case_id) + ".in";
    ofstream fout(filename);
    
    int n;
    
    if (case_id == 1) {
        // 样例 1: 完美抵消
        n = 2;
        fout << n << endl;
        fout << "10 0" << endl;
        fout << "-10 0" << endl;
    }
    else if (case_id == 2) {
        // 样例 2: 勾股数 3-4-5
        n = 2;
        fout << n << endl;
        fout << "3 0" << endl;
        fout << "0 4" << endl;
    }
    else if (case_id == 3) {
        // 样例 3: 多力抵消
        n = 3;
        fout << n << endl;
        fout << "10 10" << endl;
        fout << "-5 -5" << endl;
        fout << "-5 -5" << endl;
    }
    else if (case_id == 4) {
        // 勾股数测试: 5-12-13
        n = 2;
        fout << n << endl;
        fout << "5 0" << endl;
        fout << "0 12" << endl;
    }
    else if (case_id == 5) {
        // 大量小力抵消
        n = 1000;
        fout << n << endl;
        for(int i=0; i<n/2; i++) {
            fout << "100 100" << endl;
            fout << "-100 -100" << endl;
        }
    }
    else if (case_id <= 8) {
        // 随机中等规模
        n = 1000;
        fout << n << endl;
        for(int i=0; i<n; i++) {
            fout << rand_int(-100, 100) << " " << rand_int(-100, 100) << endl;
        }
    }
    else {
        // 压力测试 & 溢出测试
        // N = 100,000, 所有的力都指向同一个方向，确保 sum_x 很大
        n = 100000;
        fout << n << endl;
        for(int i=0; i<n; i++) {
            // 全部是正数，最大化 sum
            fout << rand_int(900, 1000) << " " << rand_int(900, 1000) << endl;
        }
    }

    fout.close();
}

int main() {
    cout << "--- Generating Zero-G Tug-of-War Data ---" << endl;
    Solution solver;
    for (int i = 1; i <= 10; i++) {
        generate_input(i);
        string in = to_string(i) + ".in";
        string out = to_string(i) + ".out";
        solver.solve(in, out);
    }
    cout << "--- Done! ---" << endl;
    return 0;
}

NOIP C++14 标准解答代码

/**
 * 题目: 零重力拔河 (Zero-G Tug-of-War)
 * 作者: Isaac Asimov (AI)
 * 语言: C++14 (NOIP Standard)
 * 知识点: 力的正交分解与合成, long long 的使用
 */

#include <iostream>
#include <cmath>      // sqrt
#include <iomanip>    // setprecision

using namespace std;

int main() {
    // 1. IO 优化
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);

    int n;
    if (!(cin >> n)) return 0;

    // 2. 定义分量累加器
    // 注意：虽然输入是 int，但 n 很大时累加和可能接近 10^8，int (2x10^9) 暂时存得下
    // 但为了保险和统一，推荐直接用 long long
    long long total_x = 0;
    long long total_y = 0;

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int fx, fy;
        cin >> fx >> fy;
        
        // 矢量合成的核心：分量分别相加
        total_x += fx;
        total_y += fy;
    }

    // 3. 计算合力大小
    // 勾股定理: F = sqrt(x^2 + y^2)
    
    // 警告！！！ 这里是本题最大的考点
    // total_x 最大可达 10^8。
    // total_x * total_x 最大可达 10^16。
    // int 的上限只有 2*10^9。
    // 如果不用 long long，这里会发生整数溢出，导致计算结果变负数或错误值。
    
    long long sum_squares = total_x * total_x + total_y * total_y;
    
    double result = sqrt(static_cast<double>(sum_squares));

    // 4. 输出
    cout << fixed << setprecision(2) << result << endl;

    return 0;
}

阿西莫夫的点评

这道题看似是一道简单的“加法题”，实则是一个针对数据范围敏感度的检测器。

• 物理层面：考察学生是否理解“力不能直接把大小加起来”，必须分别处理 $x$ 和 $y$。
• 计算机层面：考察学生是否能预估 $100,000 \times 1000$ 的平方会发生什么。很多初学者会栽在 int sq = total_x * total_x 这一行上。

希望这道题能让学生们明白，在编程的世界里，就像在太空中一样，如果不注意那些微小的累积效应（比如溢出），飞船可是会解体的。