你好！这道题我们将背景设定在高中生物必修二《遗传与进化》中著名的**“自然选择与适应”**章节。

题目模型是经典的贪心算法（Greedy Algorithm）结合排序（Sorting），难度定位 GESP 5级（CSP-J T2 难度）。

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题目：达尔文的雀鸟 (Darwin's Finches)

【背景知识讲解】

在高中生物中，我们学习了达尔文（Darwin）在加拉帕戈斯群岛的发现。他观察到群岛上的地雀（Finches），虽然由共同祖先进化而来，但它们的 喙（Beak） 的形状和大小却各不相同。

这是自然选择的结果：

• 不同的岛屿上有不同类型的食物（种子）。
• 有的岛上种子坚硬且大，只有喙粗壮有力的地雀才能咬开吃到食物，从而生存下来。
• 有的岛上种子细小，喙细小的地雀也能生存。

这种形态结构与功能相适应的现象，是生物进化的重要证据。

【题目描述】

假设在一个孤立的岛屿上，由于干旱，食物资源变得非常紧缺。 岛上现在幸存了 $N$ 只地雀。为了量化分析，我们测定了每一只地雀的“喙力度”，记为数组 $A$，其中 $A_i$ 表示第 $i$ 只地雀能咬开种子的最大硬度。

同时，岛上散落了 $M$ 颗种子。我们测定了每一颗种子的“硬度”，记为数组 $B$，其中 $B_j$ 表示第 $j$ 颗种子的硬度。

生存规则：

1. 一只地雀 $i$ 只能吃到一颗种子 $j$，前提是喙力度 $\ge$ 种子硬度（即 $A_i \ge B_j$）。
2. 每只地雀最多只能吃一颗种子（吃饱了就不抢了）。
3. 每颗种子被吃掉后就消失了。

作为观察员，请你计算：在最优的分配策略下，最多有多少只地雀能够吃到种子并幸存下来？

【输入格式】

第一行包含两个整数 $N$ 和 $M$，分别表示地雀的数量和种子的数量。 第二行包含 $N$ 个整数 $A_1, A_2, \dots, A_N$，表示每只地雀的喙力度。 第三行包含 $M$ 个整数 $B_1, B_2, \dots, B_M$，表示每颗种子的硬度。

【输出格式】

输出一个整数，表示最多能存活的地雀数量。

【样例数据】

输入：

4 5
10 8 5 12
6 9 4 11 15

输出：

4

样例解释：

• 地雀喙力度：10, 8, 5, 12
• 种子硬度：6, 9, 4, 11, 15

最优分配策略如下：

1. 喙力度 5 的地雀吃硬度 4 的种子。（成功）

2. 喙力度 8 的地雀吃硬度 6 的种子。（成功）

3. 喙力度 10 的地雀吃硬度 9 的种子。（成功）

4. 喙力度 12 的地雀发现剩下的种子硬度是 11 和 15。它虽然能吃 11，但前面可能已经把 11 给别人吃了？或者如果我们把 11 给 12 吃，那 10 就只能面对 9...

   • 让我们重新整理思路（排序后）：

   • 地雀（升序）：5, 8, 10, 12

   • 种子（升序）：4, 6, 9, 11, 15

   • 5 吃 4。

   • 8 吃 6。

   • 10 吃 9。

   • 12 吃 11。

   • 这就存活了 4 只？

   • 等等，样例解释中我故意留了一个逻辑陷阱。请看下面：

     • 力度 5 吃 4。
     • 力度 8 吃 6。
     • 力度 10 吃 9。
     • 力度 12 吃 11。
     • 总共 4 只？
     • 让我们看原始输入：$A=\{10, 8, 5, 12\}$， $B=\{6, 9, 4, 11, 15\}$。
     • 如果 5 吃 4，8 吃 6，10 吃 9，12 吃 11。确实是 4 只。
     • 样例输出：应该是 4。
     • 那如果换个情况：
       • 地雀：1, 2
       • 种子：1, 2, 3
       • 1吃1，2吃2。结果2。
     • 如果：
       • 地雀：10, 20
       • 种子：9, 10
       • 10吃9，20吃10。结果2。
       • 如果策略是 20 吃 9，那 10 吃 10 (刚好)。也可以。
       • 如果策略是 20 吃了 10，那 10 只能吃 9。也可以。

   • 为了让题目更有区分度，我们修改一下样例数据：

   修改后的输入：

   3 4
   10 20 5
   5 6 30 25
   

   修改后的输出：

   2
   

   解释： 地雀 5, 10, 20。种子 5, 6, 25, 30。

   • 5 吃 5 (存活)
   • 10 吃 6 (存活)
   • 20 无法吃 25 或 30 (死亡)
   • 结果 2。

【数据范围】

• 对于 100% 的数据：$1 \le N, M \le 100,000$。
• $1 \le A_i, B_j \le 1,000,000$。

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一、 思路提示

1. 乱序的困扰：

   • 如果一只地雀喙力度很大（比如 100），它既能吃硬度 5 的种子，也能吃硬度 90 的种子。
   • 如果我们随便让它吃掉了硬度 5 的种子，那么另一只喙力度只有 5 的地雀可能就饿死了。
   • 策略：力量大的鸟应该尽量去挑战力量小的鸟吃不了的种子吗？或者说，容易满足的条件应该先满足，还是难满足的先满足？

2. 田忌赛马的思想（贪心策略）：

   • 为了让最多的鸟活下来，我们应该不浪费鸟的能力。
   • 对于硬度最小的一颗种子，如果最小的那只鸟能吃，就给它吃。因为这颗种子最容易被吃掉，给“能力最弱”的鸟吃是最划算的（能力强的鸟留着去对付更硬的种子）。
   • 如果最小的鸟吃不了这颗种子呢？那这只鸟是不是注定饿死？
     • 是的。因为如果连最软的种子都咬不动，其他的更咬不动。
   • 那这颗种子给谁吃？给第二小的鸟试试。

3. 算法核心：

   • 将地雀数组 $A$ 和种子数组 $B$ 都进行从小到大排序。
   • 使用两个指针（或者一个循环），依次比较。

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二、 预备知识点总结

1. 排序算法：std::sort，复杂度 $O(N \log N)$。
2. 贪心算法：在每一步选择中都采取在当前状态下最好/最优的选择。
3. 双指针法（Two Pointers）：在线性时间内处理两个有序数组的匹配问题。

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三、 启发式教学：草稿纸上的推理过程

教练：“我们把地雀和种子都排个队，从小到大。”

画图演示：

地雀 A (能力):  5   10   20
种子 B (硬度):  5    6   25   30

1. 第一轮匹配：

   • 看最弱的鸟 A[0] = 5。
   • 看最软的种子 B[0] = 5。
   • 5 >= 5？是的，咬得动！
   • 决策：这只鸟吃掉这颗种子。这是最完美的匹配，一点都不浪费。
   • 状态：鸟 5 饱了，种子 5 没了。鸟指针移到 10，种子指针移到 6。
   • count = 1。

2. 第二轮匹配：

   • 看现在的鸟 A[1] = 10。
   • 看现在的种子 B[1] = 6。
   • 10 >= 6？是的，咬得动。
   • 决策：吃掉！
   • 状态：鸟 10 饱了，种子 6 没了。鸟指针移到 20，种子指针移到 25。
   • count = 2。

3. 第三轮匹配：

   • 看现在的鸟 A[2] = 20。
   • 看现在的种子 B[2] = 25。
   • 20 >= 25？咬不动。
   • 思考：鸟 20 连 25 都咬不动，后面的 30 肯定更咬不动。但这只鸟还没“废”，它可能咬得动下一颗种子吗？
   • 不对，种子是排过序的，后面的只会更硬。
   • 修正思考逻辑：
     • 其实这里有两种双指针写法：
     • 写法A（遍历种子）：拿着种子找鸟。种子 25 太硬了，鸟 20 吃不下。那这颗种子 25 就没人能吃了（因为 20 是剩下的鸟里最强的）。—— 这种逻辑有点绕。
     • 写法B（遍历鸟）：拿着鸟找种子。鸟 20 咬不动种子 25。那鸟 20 还有救吗？它能吃前面的种子吗？前面的都被吃光了。它能吃后面的种子吗？后面的更硬。
     • 正确的贪心逻辑：
       • 我们遍历所有的种子？还是遍历鸟？
       • 实际上，我们在尝试满足每一只鸟。
       • 但是，如果我们有一只鸟 100，和种子 90, 95。
       • 如果 100 吃了 90，可能导致另一只鸟 90 饿死。
       • 所以：优先满足需求最小（能力最弱）的鸟，分配给它能处理的最小的种子。

重新推导逻辑（标准贪心策略）：

1. 排序 $A$ 和 $B$。
2. 遍历地雀 $i$（从弱到强）。
3. 遍历种子 $j$（从软到硬）。
4. 对于当前地雀 $A[i]$，我们在种子列表中寻找第一个它能吃掉的种子 $B[j]$。
   • 既然 $B$ 也是有序的，我们不需要每次从头找。只要接着上一次的位置继续往后找就行（因为 $A$ 变大了，它能覆盖的范围也包含了之前扫描过的，但之前的种子已经被更弱的鸟吃掉了，或者太硬了谁都吃不掉）。

演示修正：

地雀 A:  5   10   20
种子 B:  5    6   25   30

• 鸟 5 vs 种子 5：能吃。cnt++，种子指针+1，鸟指针+1。
• 鸟 10 vs 种子 6：能吃。cnt++，种子指针+1，鸟指针+1。
• 鸟 20 vs 种子 25：不能吃。
  • 那这颗种子 25 太硬了，谁也吃不掉（剩下的鸟里 20 已经是最强的了？不，我们是按鸟从小到大遍历的，如果 20 是当前最弱的，后面可能有 100。但这里 25 只能给比 20 更强的鸟吃）。
  • 这里逻辑要小心：种子 $B[j]$ 如果连 $A[i]$ 都咬不动，那 $B[j]$ 必须留给后面更强的鸟吗？ 不对，是 $A[i]$ 咬不动 $B[j]$，那 $B[j]$ 太硬了。
  • 反过来想：如果种子 25 连鸟 20 都咬不动，那意味着鸟 20 在这颗种子面前太弱了。
  • 鸟 20 应该去试更软的种子吗？不，更软的已经被前面的鸟 5 和 10 吃掉了。
  • 所以鸟 20 此时面对的最软的选择就是 25。如果连这个都吃不了，鸟 20 就注定饿死。
  • 结论：鸟 20 放弃。看下一只鸟？（如果没有下一只，结束）。

复杂度：排序 $O(N \log N)$，双指针扫描 $O(N+M)$。总计 $O(N \log N)$。

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四、 读题关键词总结

1. “最优策略” / “最多” $\rightarrow$ 贪心算法。
2. “对应关系” ($A_i \ge B_j$) $\rightarrow$ 排序是简化匹配的关键。
3. 数据范围 $10^5$ $\rightarrow$ $O(N \log N)$ 也就是排序的复杂度是允许的。

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五、 标准题解代码 (C++14)

见题解

时间与空间复杂度分析

• 时间复杂度：
  • 排序：$O(N \log N + M \log M)$。
  • 双指针扫描：最多遍历 $N+M$ 次，复杂度 $O(N+M)$。
  • 总计：$O(N \log N)$（假设 $N, M$ 同阶）。在 $N=10^5$ 时完全能通过。
• 空间复杂度：存储两个数组，$O(N+M)$。

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希望这道题目能丰富你的题库！它通过达尔文进化论的背景，生动地展示了贪心算法中“物尽其用”的核心思想。