Kruskal算法的复杂度分析

挑战一下复杂度分析

太棒了！选择挑战复杂度分析，说明你不仅仅满足于“会用”，而是想追求“透彻理解”。🤓

实际上，关于 Kruskal 算法的复杂度，很多初学者都会有一个误区，觉得既然并查集这么快（接近 ），那整个算法一定也是这个速度。但事实并非如此。

为了搞清楚这个问题，我们需要把 Kruskal 算法拆解成两个独立的阶段来“算账”。

假设我们的图有 个点（Vertices）和 条边（Edges）。

第一阶段：准备工作 在使用并查集之前，我们必须先对所有的 ** 条边** 按权重进行从小到大的排序。

思考题： 在这个阶段，如果我们使用标准的排序算法（比如快速排序或归并排序），对 个元素进行排序，时间复杂度通常是多少？

O（logN）?

其实 有点过于乐观啦！😄 那通常是二分查找的时间复杂度，也就是我们在一个已经排好序的列表里找一个元素的时间。

但在这里，我们是要把所有 条边都重新排个序。想象一下，如果连所有的边都没读一遍（这就需要 了），是怎么也没法排好序的。

对于标准的排序算法（比如快速排序 Quick Sort 或归并排序 Merge Sort），给 个元素排序的平均时间复杂度是 ****。

好了，现在我们有了两部分的“账单”：

1. 排序阶段：
2. 遍历阶段： 我们最多遍历 条边。对每条边，我们做几次并查集操作（find 和 union）。

• 刚才我们分析过，并查集操作的单次复杂度约为 （近似常数）。
• 所以这个阶段的总耗时大约是 。

关键问题来了：

通常情况下， 会比 大得多（别忘了 小于 4）。

既然第一阶段是 ，第二阶段是 ，那么把它们加起来， 整个 Kruskal 算法的时间瓶颈（也就是起决定性作用的主项） 是谁呢？

ElogE

完全正确！🎯 排序确实需要 的时间。

现在我们要把这笔账算总账了。Kruskal 算法的总开销是这两部分之和：

1. 排序：
2. 并查集操作：

我们在前面提到过， 是一个极小的数（几乎可以看作常数 4），而 随着边数的增加会变得比 4 大得多。

所以，在一般情况下（当图不是极其稀疏时），这这两项相加，哪一项是主导项（瓶颈）？整个 Kruskal 算法的时间复杂度通常被记作什么？

O( E*LogE )

完全正确！🎯

你已经抓住了重点。这就是 Kruskal 算法的最终时间复杂度：。

总结一下原因： 虽然并查集的操作（查找和合并）非常快，接近线性 ，但是为了让 Kruskal 算法生效，我们必须先对边进行排序。排序的开销 远大于并查集的开销，所以排序成了整个算法的瓶颈。

💡 小知识： 有时候你也会看到复杂度写成 。 这其实是一样的，因为图中边的数量 最多是 （完全图），所以 。在大 记号中，常数 2 被忽略，所以 和 在这里通常是通用的。

至此，你已经从原理、代码细节到复杂度分析，彻底通关了并查集 (DSU) 和 Kruskal 算法！🎉