你好，同学！在掌握了基础的“岛屿数量”统计后，我们今天进入进阶课题：“封闭岛屿的数量”。

这道题在 NOI 竞赛中属于典型的**“带边界条件的连通块搜索”**。虽然核心依然是 DFS/BFS，但它引入了一个关键逻辑：如何定义并判断一个连通块是否“触碰了边界”。

一、 题目描述：封闭岛屿的数量 (Number of Closed Islands)

题目背景： 在资源勘探中，不仅要统计区域，还要区分哪些区域是完全被包围在内部的“核心区”。

任务描述： 给你一个大小为 $M \times N$ 的二维网格 grid。其中：

• 0 表示陆地。
• 1 表示水域。 注意：本题中 0 是陆地，这与基础题不同。 封闭岛屿 是指完全由水域包围的岛屿（上、下、左、右）。如果一个岛屿触碰到了网格的边界（即第一行、最后一行、第一列、最后一列），那么它就不是封闭的，因为它有一边被网格边缘挡住，而不是被水包围。

请计算网格中“封闭岛屿”的总数。

输入格式： 第一行包含两个整数 $M$ 和 $N$，$1 \le M, N \le 100$。 接下来的 $M$ 行，每行包含 $N$ 个整数（0 或 1），用空格分隔。

输出格式： 输出一个整数，表示封闭岛屿的数量。

样例 1：

输入：

5 8
1 1 1 1 1 1 1 0
1 0 0 0 0 1 1 0
1 0 1 0 1 1 1 0
1 0 0 0 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 0

输出：

2

样例数据说明： 虽然网格里有好几个由 0 组成的连通块，但只有中间两个完全被 1 包围。最右侧那一列的 0 触碰了边界，不计入封闭岛屿。

二、 预备知识点

1. Flood Fill (种子填充)： 从一个点开始扩散。
2. 边界处理 (Boundary Condition)： 识别处于 $(0, y), (M-1, y), (x, 0), (x, N-1)$ 的节点。
3. 逆向思维/预处理： 与其在搜索过程中判断是否封闭，不如提前排除“非封闭”的干扰项。

三、 启发式引导：草稿纸上的排除法

当题目要求我们找“不接触边界”的连通块时，在 NOI 竞赛中我们通常有两种策略：

策略 A：排除法（教练推荐：思路最清晰）

1. 第一步： 扫描网格的四条边。
2. 第二步： 如果在边缘发现了陆地 0，说明它所属的整个岛屿都不是封闭的。
3. 第三步： 立即以这些边缘 0 为起点，进行一次 DFS，把与之相连的所有陆地统统变成水域 1。
4. 第四步： 处理完所有边缘岛屿后，剩下的 0 连通块必然是封闭的。现在只需要按部就班统计“岛屿数量”即可。

策略 B：搜索标志位

在 DFS 遍历一个连通块时，设置一个全局变量 isClosed = true。如果遍历过程中遇到了 x == 0 或 x == M-1 等情况，将 isClosed 改为 false。

复杂度分析：

• 时间复杂度： $O(M \times N)$。无论哪种策略，每个格子最多被访问两次。
• 空间复杂度： $O(M \times N)$。递归栈深度。

四、 算法流程图 (Mermaid 风格)

我们采用策略 A（预处理排除法）进行逻辑绘制：

graph TD
    Start("开始") --> Step1("第一步: 排除边缘岛屿")
    Step1 --> LoopEdge("遍历四条边界上的每个格子")
    LoopEdge --> Check0{"当前格子是 0 吗?"}
    Check1 -- "是" --> Fill1("以该点 DFS 将连通块全部填充为 1")
    Check0 -- "是" --> Fill1
    Check0 -- "否" --> NextEdge("检查下一个边缘点")
    Fill1 --> NextEdge
    
    NextEdge --> AllEdgeDone{"边缘遍历完了吗?"}
    AllEdgeDone -- "是" --> Step2("第二步: 统计内部岛屿")
    
    Step2 --> ScanAll("遍历网格内部所有点 i, j")
    ScanAll --> Found0{"发现 grid_i_j == 0?"}
    Found0 -- "是" --> AnsAdd("封闭岛屿计数 ans 加 1")
    AnsAdd --> DFS2("以该点 DFS 将连通块填充为 1")
    DFS2 --> NextPoint("继续扫描下一个点")
    Found0 -- "否" --> NextPoint
    
    NextPoint --> AllDone{"全网格扫描完了吗?"}
    AllDone -- "是" --> Output("输出 ans")

五、 读题理解关键词

在 NOI 考试中，理解此类题意的关键词在于：

1. “封闭” (Closed)： 意味着只要有一个点出界，整个集合就失效。这种“一票否决制”往往预示着可以先处理掉所有“不合规”的集合。
2. “0 和 1 的含义”： 陆地和水域的数字定义经常反转，读题时一定要在草稿纸上圈出来，避免写反。
3. “上下左右”： 明确是四连通还是八连通。
4. 边界范围： $100 \times 100$ 的数据范围非常小，DFS 完全不会爆栈，甚至可以使用最朴素的算法。

教练笔记： 策略 A 的美妙之处在于它把一个复杂的问题（边搜边判断）拆解成了两个简单的问题（先删边界，再数中间）。这种“简化问题模型”的能力，是冲击金牌的重要素质。加油！