你好！我是你的OI教练。很高兴看到你挑战 GESP 五级的题目。五级题目通常开始涉及更深入的数论和算法优化知识。

这道题《因数分解》是数论中的经典入门题——质因数分解（Prime Factorization）。虽然题目逻辑不难，但在 $10^{12}$ 的数据规模下，它考验的是你对时间复杂度的敏感度和数据类型的把控。

我们还是按老规矩，先拿出草稿纸，把解题思路拆解开来。

1. 读题关键词：你的“雷达”响了吗？

1. $N \le 10^{12}$：
   • 红色警报：int 的最大值约为 $2 \times 10^9$。这个 $N$ 远超 int 范围。
   • 动作：必须使用 long long 存储 $N$。
2. “质因数由小到大排列”：
   • 暗示我们可以从 2 开始，尝试去除 $N$。因为从小到大尝试，能整除的一定是质数（因为如果是合数，它的因子早在之前就被除干净了）。
3. 格式要求：
   • * 左右有空格，^ 左右没空格。
   • 这是经典的**“栅栏问题”**：第一个元素前不能打印 *，从第二个元素开始，在打印前先打印 *。

2. 预备知识点

• 试除法（Trial Division）：
  • 要分解 $N$，不需要遍历到 $N$，只需要遍历到 $\sqrt{N}$ 即可。
  • 原理：如果 $N$ 有因数 $a$ 和 $b$ 使得 $a \times b = N$，那么 $a$ 和 $b$ 中至少有一个小于等于 $\sqrt{N}$。
  • 效率：$\sqrt{10^{12}} = 10^6$。循环 100 万次，计算机在 10ms 内就能完成，绝对不会超时。
• 取模与除法：
  • while (n % i == 0)：如果能整除，就一直除，统计次数（指数）。

3. 启发式教学：草稿纸上的推演

假设我们要分解 $N = 20$。

关键逻辑： 循环条件是 i * i <= n。 循环结束后，如果 $N > 1$，说明剩下的这个 $N$ 就是最大的那个质因数（比如分解 22，循环到 $\sqrt{22} \approx 4$ 结束，剩下 11，直接输出）。

4. 标准代码 (NOIP C++14)

/**
 * 题目：B3871 [GESP202309 五级] 因数分解
 * 考点：质因数分解、试除法、格式化输出
 * 难度：普及- / GESP五级
 */

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

void solve() {
    // 关键点1：数据范围 10^12，必须用 long long
    long long n;
    cin >> n;

    // 这是一个标记，用来处理由 " * " 分隔的格式问题
    // true 表示当前是输出的第一个项，不需要在前面加乘号
    bool first = true;

    // 关键点2：试除法
    // 只需要循环到 sqrt(n) 即可。注意 i*i <= n 可能会溢出，建议写成 i <= n/i 或者用 sqrt
    // 但因为 i 是 long long 且 n 最大 10^12，i*i 最大 10^12，不会溢出 long long
    for (long long i = 2; i * i <= n; i++) {
        // 如果 i 是 n 的因子
        if (n % i == 0) {
            int cnt = 0; // 统计指数
            
            // 将 i 除干净
            while (n % i == 0) {
                cnt++;
                n /= i;
            }

            // 输出格式控制
            if (!first) {
                cout << " * ";
            }
            cout << i;
            if (cnt > 1) {
                cout << "^" << cnt;
            }

            // 既然已经输出了第一项，后面就都不是第一项了
            first = false;
        }
    }

    // 关键点3：收尾
    // 如果循环结束后 n 仍然 > 1，说明剩下的 n 是一个大于 sqrt(原始n) 的质数
    if (n > 1) {
        if (!first) {
            cout << " * ";
        }
        cout << n;
        // 注意：此时 n 的指数一定是 1，所以不需要输出 ^
    }
    
    cout << endl;
}

int main() {
    // IO 优化
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);

    solve();

    return 0;
}

5. 数据生成器 (1.in - 10.in)

为了生成高质量的 $10^{12}$ 级别数据，我们需要组合大质数、完全平方数等边界情况。

/**
 * B3871 数据生成器
 * 生成 1.in/1.out ~ 10.in/10.out
 */

#include <iostream>
#include <fstream>
#include <string>
#include <vector>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;

// ==========================================
// Part 1: 标准题解逻辑 (用于生成 .out)
// ==========================================
string solve(long long n) {
    string ans = "";
    bool first = true;
    for (long long i = 2; i * i <= n; i++) {
        if (n % i == 0) {
            int cnt = 0;
            while (n % i == 0) {
                cnt++;
                n /= i;
            }
            if (!first) ans += " * ";
            ans += to_string(i);
            if (cnt > 1) ans += "^" + to_string(cnt);
            first = false;
        }
    }
    if (n > 1) {
        if (!first) ans += " * ";
        ans += to_string(n);
    }
    return ans;
}

// ==========================================
// Part 2: 数据构造工具
// ==========================================

// 生成大的随机数
long long randLL() {
    // rand() 通常只有 15位 (32767)，需要拼接
    long long r = (long long)rand() << 48 | (long long)rand() << 32 | (long long)rand() << 16 | rand();
    return abs(r); // 确保正数
}

// 生成范围内的随机数 [min, max]
long long randRange(long long min, long long max) {
    return min + randLL() % (max - min + 1);
}

// 简单的质数判断，用于构造数据
bool isPrime(long long n) {
    if (n < 2) return false;
    for (long long i = 2; i * i <= n; i++) {
        if (n % i == 0) return false;
    }
    return true;
}

// 获取一个大的质数
long long getPrime(long long min, long long max) {
    while (true) {
        long long p = randRange(min, max);
        if (isPrime(p)) return p;
    }
}

// ==========================================
// Part 3: 测试点生成
// ==========================================
void makeData(int fileId) {
    string inName = to_string(fileId) + ".in";
    string outName = to_string(fileId) + ".out";
    ofstream fin(inName);
    ofstream fout(outName);

    long long N;

    if (fileId <= 2) {
        // 1-2: 小数据，基础测试
        N = randRange(2, 100);
    } else if (fileId == 3) {
        // 3: 纯大质数 (测试循环是否正确跑到 sqrt)
        N = getPrime(1e9, 1e11);
    } else if (fileId == 4) {
        // 4: 2的幂次 (测试 ^ 输出)
        // 2^39 < 10^12
        N = 1;
        int p = randRange(30, 39);
        for(int i=0; i<p; i++) N *= 2;
    } else if (fileId == 5) {
        // 5: 完全平方数 (测试 p^2)
        long long root = getPrime(1000, 10000);
        N = root * root;
    } else if (fileId == 6) {
        // 6: 两个大质数的乘积 (测试收尾 n > 1)
        long long p1 = getPrime(100000, 200000);
        long long p2 = getPrime(100000, 200000);
        N = p1 * p2;
    } else if (fileId <= 8) {
        // 7-8: 随机大合数
        N = randRange(1e10, 1e12);
    } else if (fileId == 9) {
        // 9: 边界测试，非常接近 10^12 的大质数
        N = getPrime(1e12 - 10000, 1e12);
    } else {
        // 10: 题目最大值 (如果是合数或质数都行，这里直接取10^12)
        N = 1000000000000LL;
    }

    fin << N << endl;
    fout << solve(N) << endl;

    fin.close();
    fout.close();
    cout << "Generated Case " << fileId << ": N=" << N << endl;
}

int main() {
    srand((unsigned)time(NULL));
    for (int i = 1; i <= 10; i++) {
        makeData(i);
    }
    return 0;
}

教练总结

这道题是 GESP 五级的分水岭，标志着从“模拟”走向“算法”。

1. 时间复杂度意识：如果不理解试除法的 $\sqrt{N}$ 原理，直接写 for (i=2; i<n; i++)，在 $N=10^{12}$ 时程序会跑几千年（超时）。
2. 数据类型敏感度：时刻盯着 $10^9$ 这个界限。超过它，就要用 long long。
3. 细节：处理好末尾的那个质因数（循环结束后的 if (n > 1)），是这道题最容易丢分的地方。