登录以参加训练计划

为什么要学搜索思维？

以【P1002. [NOIP 2002 普及组] 过河卒】为例分析，为什么学了动态规划DP思维还需要学搜索思维？应该按什么题单步骤循序渐进的学习？

回答

问得非常好！这是一个困扰着无数初学者的核心问题：“既然 DP 看起来那么‘高级’和‘高效’，为什么我还要回头去学看起来很‘笨’的搜索呢？”

作为你的教练，我可以告诉你一个核心观点：DP 和搜索，就像一个顶尖剑客的左手与右手，相辅相成，缺一不可。DP 的思维根基，正是源于对搜索空间的深刻理解。

我们先用一个比喻来理解，然后再以【过河卒】为例进行剖析。

一、为什么学了DP，还需要学搜索？

想象一下，你要解决一个问题，就像要从山脚爬到山顶寻找最优路径。

• 搜索 (DFS/BFS)：就像一个探险家。他从一个点出发，尝试所有可能的分岔路，一条路走到黑（DFS），或者一层一层地毯式探索（BFS）。这是最符合人类直觉的解决问题方式——暴力枚举所有可能性。
• DP (动态规划)：就像一个地图绘制员。他并不急于出发，而是先研究地图的结构。他发现，无论从哪条路走到某个中间点（状态），从这个中间点再往上爬的最优路径是固定的，和他之前怎么走过来的无关（无后效性）。于是他从山脚开始，一层一层地计算并记录下到达每个中间点的最优解（状态转移），最终得到山顶的最优解。

现在，回答你的问题：

1. 搜索是DP思维的“母体”：你只有先当过“探险家”，亲身体验过整个山脉的岔路（状态空间），你才能发现其中的规律，升级成为“地图绘制员”。搜索让你理解问题的本质和规模，而 DP 是在你理解了这一切之后，找到的一种“聪明”的、避免重复探索的计算方法。
2. “记忆化搜索”是连接两者的桥梁：一个纯粹的 DFS 探险家很笨，他会反复走同一段路。但如果他很聪明，每次到达一个岔路口，就把从这里到山顶的最优路径记在小本本上（Memoization），下次再到这里就直接查本子。这个“聪明的探险家”就是记忆化搜索。而记忆化搜索，本质上就是自顶向下的 DP (Top-Down DP)。
3. 有些问题更适合用搜索来表达：对于某些状态转移不规则、或者状态本身很复杂的问题（如树形DP、区间DP、状态压缩DP），用循环来写自底向上的 DP 会非常烧脑。而用一个递归的搜索函数来描述状态转移，会自然得多，也更容易调试。
4. 剪枝是搜索的独门绝技：当状态空间巨大，无法开下 DP 数组时，DP 就失效了。此时，一个优秀的搜索算法，配合强大的剪枝 (Pruning) 技巧，可以砍掉大量无效的搜索分支，奇迹般地在时限内找到答案。这是纯 DP 无法做到的。

---

二、以【P1002. 过河卒】为例

这道题是 DP 的经典入门题，但它完美地诠释了 DP 与搜索的关系。

1. DP 的视角 (地图绘制员)

• 状态定义：dp[i][j] 表示从起点 (0,0) 走到 (i,j) 的方案数。
• 状态转移：卒只能向下或向右走。所以要想到达 (i,j)，只能从 (i-1,j) 或者 (i,j-1) 走过来。
  • 因此，dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]。
• 实现：我们用两层循环，从 (0,0) 开始，一步步计算并填满整个 dp 表格，直到终点。
  • （当然要处理马的控制点，将它们的 dp 值设为 0）。

这是自底向上 (Bottom-Up) 的 DP，非常清晰高效。

2. 搜索的视角 (探险家)

现在我们换个思路，写一个函数 long long search(x, y)，表示“从 (x,y) 走到终点 (B_x, B_y) 有多少种方案”。（为了和 DP 对应，我们也可以定义成“从起点走到 (x,y) 的方案数”，逻辑是完全一样的）。

我们以前者为例，自顶向下思考：

• 函数定义：long long solve(int x, int y)，计算从 (0,0) 走到 (x,y) 的方案数。
• 递归出口：
  • 如果 (x,y) 是马的控制点，或者 x<0, y<0（走出边界），说明此路不通，return 0。
  • 如果 (x,y) 是起点 (0,0)，那么只有 1 种方案（就是原地不动），return 1。
• 递归分解：要走到 (x,y)，只能从 (x-1,y) 或者 (x,y-1) 过来。所以方案数是这两者之和。
  • return solve(x-1, y) + solve(x, y-1);

问题来了：这个纯搜索会超时！因为它会重复计算大量的 solve(i,j)。例如，solve(3,3) 会调用 solve(2,3) 和 solve(3,2)，而这两者都会去调用 solve(2,2)。

如何升级？——记忆化！

我们开一个 memo[x][y] 数组，初始化为 -1，表示没算过。

long long solve(int x, int y) {
    // 边界和障碍判断
    if (x < 0 || y < 0 || is_controlled(x, y)) return 0;
    
    // 起点
    if (x == 0 && y == 0) return 1;
    
    // 查备忘录
    if (memo[x][y] != -1) return memo[x][y];
    
    // 计算并记录
    long long ans = solve(x-1, y) + solve(x, y-1);
    memo[x][y] = ans;
    return ans;
}

现在请你对比一下：

• 记忆化搜索中的 memo 数组，是不是就是 DP 中的 dp 数组？
• 递归公式 solve(x-1, y) + solve(x, y-1)，是不是就是 DP 的状态转移方程 dp[i-1][j] + dp[i][j-1]？

是的，它们是完全等价的！ 记忆化搜索就是“自顶向下”的 DP 实现。

结论：学习搜索思维，能让你从问题的本质出发，自然地推导出状态转移方程。当你发现朴素搜索中存在大量重复计算时，加上一个“备忘录”，就自动进化成了 DP。

---

三、循序渐进的学习题单

你应该按照“纯搜索 -> 记忆化搜索 -> 简单DP”的路径来训练，彻底打通任督二脉。

第一阶段：掌握纯粹的搜索（当好探险家）

目标是熟练掌握递归、回溯、状态表示和剪枝。这些问题通常没有 DP 特性。

1. P1706 全排列：DFS 最基础的应用，理解递归树。
2. P1036 [NOIP2002 普及组] 选数：组合型枚举，学习如何传递状态和剪枝。
3. P1135 奇怪的电梯：BFS 的入门，理解广度优先搜索的层次性。
4. P1219 [USACO1.5] 八皇后 Checker Challenge：经典回溯问题，剪枝的绝佳练习。

第二阶段：从搜索到记忆化搜索（给探险家配上小本本）

目标是识别“重叠子问题”，并加上记忆化数组，完成从暴力到高效的蜕变。

1. P1464 Function：最简单的记忆化搜索，题目就是为你量身定做的。
2. P1002 [NOIP2002 普及组] 过河卒：用记忆化搜索再做一遍，体会和 DP 的等价性。
3. P1216 [USACO1.5] [IOI1994]数字三角形：既可以纯 DP，也可以用记忆化搜索，是绝佳的对比材料。
4. P1048 [NOIP2005 普及组] 采药：经典的 0/1 背包问题，尝试用记忆化搜索 solve(i, w)（考虑前i个物品，背包容量w）来求解。

第三阶段：拥抱 DP（成为地图绘制员）

在第二阶段的基础上，尝试将记忆化搜索的逻辑翻译成自底向上的循环 DP。

1. P1048 [NOIP2005 普及组] 采药：写出自底向上的 0/1 背包 DP 代码。
2. B3637 最长上升子序列：学习经典的 $O(N^2)$ LIS DP。
3. P1091 [NOIP2004 提高组] 合唱队形：LIS 的经典应用，需要正反两次 DP。

当你完成了这个流程，你就会发现，搜索和 DP 已经不再是两个孤立的知识点，而是你解决问题时可以随时切换的一体两面。祝你成功！

---

搜索的双指针技巧有哪些循序渐进的洛谷题单？

你好！很高兴看到你对双指针 (Two Pointers) 这个技巧产生了浓厚的兴趣。

双指针是一种非常强大且优雅的算法思想，它能将某些问题的时间复杂度从 $O(N^2)$ 暴力优化到 $O(N)$。它的核心在于利用问题的单调性，通过同向或反向移动两个指针来“扫描”序列，从而避免重复计算。

我为你精心设计了一份循序渐进的洛谷题单，从最经典的入门模型到复杂的综合应用，帮助你彻底掌握双指针。

---

第一阶段：入门与核心模型（反向指针/相向指针）

这个阶段的目标是掌握最基础的“两端夹逼”模型。指针 l 从左到右，r 从右到左，通常用于有序序列。

1. P1102 A-B 数对

• 难度：🟠 普及-
• 一句话题意：给定序列和差值 $C$，求有多少对 $(A, B)$ 满足 $A - B = C$。
• 教练点评：绝对的入门第一题。先将数组排序，然后用双指针寻找差值为 $C$ 的数对。这题也可以用二分查找做，是练习两种思维的好材料。

2. P1638 逛画展

• 难度：🟡 普及/提高-
• 一句话题意：在一个序列中找到一个最短的连续子段，使其包含所有 $M$ 种不同的元素。
• 教练点评：这是滑动窗口的经典模型，是双指针的变体（同向指针）。一个指针 r 负责扩张窗口，另一个 l 负责收缩窗口。

3. P3143 [USACO16OPEN] Diamond Collector S

• 难度：🟢 普及+/提高
• 一句话题意：在一个序列中找出两个不重叠的区间，使得每个区间内的最大值与最小值之差不超过 $K$，求这两个区间包含的元素总数的最大值。
• 教练点评：这题需要双指针和预处理/DP思想的结合。先用一次双指针扫一遍，预处理出以 i 结尾的最长满足条件的区间长度。然后再扫一遍找最优组合。

---

第二阶段：同向指针与滑动窗口

这个阶段的目标是熟练运用“尺取法 (Inchworm Method)”，即两个指针 l, r 都从左往右移动，共同维护一个动态变化的区间（窗口）。

4. P1147 连续自然数和

• 难度：🟡 普及/提高-
• 一句话题意：求所有和为 $M$ 的连续正整数序列。
• 教练点评：滑动窗口的入门题。r 指针向右扩张，使窗口内的和增加；当和超过 $M$ 时，l 指针向右收缩，使和减小。

5. P8772 [蓝桥杯 2022 省 A] 选数异或

• 难度：🟢 普及+/提高
• 一句话题意：在序列中找一个区间，使得区间内所有数的异或和等于某个值。
• 教练点评：这题将双指针与位运算和前缀和思想结合。需要用到前缀异或和来快速计算区间异或值。

6. P3811 【模板】乘法逆元 (没错，是这道数论题)

• 题目：P3811 【模板】乘法逆元
• 难度：🟢 普及+/提高
• 教练点评：你可能会惊讶为什么这里会出现一道数论题。实际上，求解 $1 \dots N$ 所有数的逆元有一个非常巧妙的 $O(N)$ 线性递推算法。这个递推算法的推导过程，就蕴含了双指针的思想（虽然代码里看不出指针）。理解它能加深你对“线性扫描”这种思想的理解。
  • inv[i] = (p - p / i) * inv[p % i] % p

---

第三阶段：综合应用与思维拓展

这个阶段的题目将双指针与其他算法（如DP、数据结构、贪心）结合，需要更灵活的思维。

7. P1115 最大子段和

• 难度：🟡 普及/提高-
• 一句话题意：求一个序列中连续子段的最大和。
• 教练点评：虽然这题的标准解法是 $O(N)$ 的简单 DP 或贪心，但它体现了双指针“维护最优性”的思想。你可以思考一下，能否用一个指针 r 扫描，另一个指针 l 动态地指向“最佳起点”？这能帮你理解 Kadane 算法的本质。

8. P2678 [NOIP2015 提高组] 跳石头

• 难度：🔵 提高+/省选-
• 一句话题意：通过移除 $M$ 块石头，使得最短的跳跃距离最大化。
• 教练点评：这是一道非常经典的“二分答案 + 判定”问题。而它的 check 函数，就是一个贪心判定，通常用**双指针（或者说一个指针扫描）**来实现。这题是“二分”与“双指针”这对黄金搭档的完美体现。

9. CF22A Second Order Statistics (Codeforces)

• 难度：🔴 入门
• 教练点评：作为放松，这道 CF 入门题虽然简单，但它提醒我们双指针的最基本前提——排序。先排序，再去重，然后用指针找到第二小的数。

---

刷题建议

1. 先排序，再思考：拿到一个序列问题，如果感觉可以用双指针，第一步通常是排序。
2. 明确指针移动的条件：仔细分析，什么情况下移动 l 指针？什么情况下移动 r 指针？指针移动的依据必须是单调的。
3. 画图模拟：在纸上画出数组和两个指针，手动模拟几步，能帮你理清逻辑，发现边界问题。
4. 一题多解：像 P1102 这样的题，尝试用双指针和二分查找两种方法都写一遍，对比它们的优劣和思维差异。

祝你刷题愉快，早日成为双指针大师！

labuladong的环形数组双指针

https://labuladong.online/algo/data-structure-basic/cycle-array/#代码实现

---

单调栈

你好！我是你的 OI 教练。这个问题问得非常本质！

很多同学只会背模板代码，却不知道“它为什么叫这个名字”以及“它到底和数组有什么纠葛”。理解了这两点，你就不需要死记硬背了。

我们把它拆解开来把玩一下。

---

一、 “单调栈”名字的来历 (The Etymology)

这个名字是由两个词组成的：单调 (Monotonic) + 栈 (Stack)。

1. 什么是“栈”？

这个你肯定知道。它是一种 LIFO (Last In First Out) 的数据结构，像一个杯子，只能从上面放东西（入栈），也只能从上面拿东西（出栈）。

2. 什么是“单调”？

这是一个数学概念。函数的单调性（Monotonicity）指的是函数值随着自变量的增加，一直增加或者一直减少，不会忽高忽低。

• 单调递增：$1, 3, 5, 9, 12$ （一直变大）
• 单调递减：$10, 8, 5, 2, 1$ （一直变小）

3. 为什么合起来叫“单调栈”？

普通栈对里面的元素大小没有要求，可以是乱序的。 而单调栈在普通栈的基础上加了一条铁律：

从栈底到栈顶，元素必须严格保持单调递增或单调递减。

这个名字的由来就是因为它时刻维护着栈内元素的有序性。

为了维护这个规矩，它表现出了一种“排他性”：

• 如果新来的元素破坏了规矩，栈顶元素就必须滚蛋（Pop），直到规矩恢复，新元素才能进门（Push）。

形象的比喻： 想象一个“按个头排队”的单调递减栈（栈底高 $\to$ 栈顶矮）。

• 现在栈里是 [10, 5, 3]。
• 来了一个 4。
• 4 说：“我要进来，但我不能压在 3 头上，因为 4 > 3，破坏了递减规矩。”
• 于是 3 被踢出栈。
• 现在栈顶是 5，4 < 5，规矩成立。
• 4 进栈，变成 [10, 5, 4]。

---

二、 单调栈和数组的关系 (Relationship with Arrays)

单调栈不是孤立存在的，它就像是数组的“过滤器”或数组的“辅助索引”。

1. 关系一：数组是“食材”，单调栈是“锅”

单调栈是为了解决数组中的特定问题而生的（特别是 Next Greater Element 类问题）。

• 我们遍历数组，将数组中的元素一个个扔进单调栈里处理。
• 数组提供了原始数据的时间序列。
• 单调栈在遍历过程中，帮你筛选出“当前还可能有用的元素”，扔掉“永远没用的元素”。

2. 关系二：栈里存的是数组的“下标” (The Index Link)

这是新手最容易忽略的关键点！ 在 OI 竞赛中，单调栈里存的通常不是数值，而是数组的下标（Index）！

• 为什么存下标？
  • 如果只存数值：我知道右边有个比我大的数是 10，但我不知道它在哪里，距离我多远。
  • 如果存下标 i：我既可以通过 arr[i] 拿到数值，又能通过 i 知道位置，还能通过 current_index - i 算出距离（求矩形宽度时必须用这个）。

示意图：

数组 Arr:    [ 2,  1,  5,  6,  2,  3 ]
索引 Index:    0   1   2   3   4   5

单调栈 (存下标):
[ 0 ]      -> 代表栈里有数值 Arr[0]=2
[ 0, 1 ]   -> 代表栈里有数值 Arr[0]=2, Arr[1]=1 (单调递减)

3. 关系三：时间复杂度的魔法 ($O(N^2) \to O(N)$)

如果你直接在数组上找“下一个更大元素”，需要两层循环暴力扫描，复杂度 $O(N^2)$。 单调栈利用了数组的线性特性：

• 每个数组元素最多进栈一次，出栈一次。
• 所以单调栈把对数组的操作从“反复扫描”变成了“流式处理”，复杂度降为 $O(N)$。

---

三、 教练总结

单调栈这个名字，描述的是它内部的“状态”（有序）。 而它和数组的关系，描述的是它的“功能”（处理数组的工具）。

你可以这样理解：

数组是一群乱哄哄排队的人。 单调栈是一个严格的管理员，他从头到尾扫视这群人，手里拿着一个小本本（栈）。 为了快速找到每个人旁边比他高的人，管理员强制要求小本本上记的人必须是按身高排序的。凡是不符合规矩的，就被管理员从小本本上划掉（出栈），并记录下此时的答案。

理解了这一点，下一回做题时，记得在栈里存下标哦！

你好！作为OI教练，我为你整理了一份洛谷（Luogu）单调栈专题循序渐进题单。

这份题单的设计逻辑是：模板肌肉记忆 $\to$ 基础物理模型（找最近的大值） $\to$ 经典贡献问题（矩形面积） $\to$ 二维/综合应用。

---

第一阶段：模板与基础 (Hello, Monotonic Stack)

目标：掌握单调栈的两种形态（单调递增/递减），学会 $O(N)$ 寻找“左/右边第一个比我大/小的元素”。

1. P5788 【模板】单调栈

   • 难度：普及/提高-
   • 知识点：寻找右边第一个大于该元素的下标。
   • 教练点评：这是一切的起点。请务必背下来，并且要能熟练地写出“存下标”而不是“存数值”的版本。

2. P2947 [USACO09MAR] Look Up S

   • 难度：普及/提高-
   • 知识点：寻找右边第一个比自己高的奶牛。
   • 教练点评：跟模板题几乎一模一样，用来巩固手感。注意，这题如果 $O(N^2)$ 暴力是过不了的，必须用单调栈。

---

第二阶段：经典模型——视野与接雨水 (Visibility & Trapping)

目标：理解单调栈在实际物理场景中的意义，通常涉及“能看到多远”或“被谁挡住”。

3. P2866 [USACO06NOV] Bad Hair Day S

   • 难度：普及/提高-
   • 知识点：计算每头牛能看到右边多少头牛（直到被更高的挡住）。
   • 教练点评：这题有两种思路：
     1. 找右边第一个比我高的（正向思维）。
     2. 维护一个单调递减栈，看新来的牛能挡住多少之前的牛（逆向/维护栈内元素个数）。推荐尝试思路2，理解“维护栈内性质”的含义。

4. P1901 发射站

   • 难度：普及/提高-
   • 知识点：向两边发射能量，被第一个更高的接收。
   • 教练点评：这是双向单调栈的入门题。你需要分别求出“左边第一个比我高”和“右边第一个比我高”的塔，然后累加能量。

5. P1823 [COI2007] Patrik 音乐会的等待

   • 难度：提高+/省选-
   • 知识点：计算相互能看到的人的对数。
   • 教练点评：易错题！ 难点在于处理高度相同的人。在单调栈中，当 height[top] == current 时，需要特殊处理计数的逻辑。这是单调栈细节处理的试金石。

---

第三阶段：核心考点——直方图与最大矩形 (Histogram & Rectangle)

目标：掌握单调栈最高频的考点——“以当前元素为高，向左右能延伸多宽”。

6. SP1805 HISTOGRA - Largest Rectangle in a Histogram

   • (注：洛谷 Remote Judge 题目，或者搜 P4147 的弱化版)
   • 难度：提高+/省选-
   • 知识点：直方图最大矩形面积。
   • 教练点评：必做经典。对于每一根柱子，找到左边第一个比它矮的 l，右边第一个比它矮的 r，那么以这根柱子为高的最大面积就是 height * (r - l - 1)。

7. P4147 玉蟾宫

   • 难度：提高+/省选-
   • 知识点：二维网格中的最大全 'F' 矩形。
   • 教练点评：这是 SP1805 的二维升级版。技巧是“悬线法”或者“逐行单调栈”。把每一行及其上方看作一个直方图，问题就转化为了 $N$ 次“直方图最大矩形”问题。

---

第四阶段：思维与综合 (Advanced Thinking)

目标：单调栈不再是唯一的解法，而是作为优化思维的一部分，或者结合其他技巧。

8. P3467 [POI2008] PLA-Postering

   • 难度：提高+/省选-
   • 知识点：贪心 + 单调栈。
   • 教练点评：这题非常有意思。问最少用多少张海报覆盖轮廓。本质是看有多少个矩形可以“共用”高度。如果后面的楼和前面的楼一样高，且中间没有比它们矮的，就可以省一张海报。

9. P1950 长春

   • 难度：省选/NOI-
   • 知识点：统计所有子矩形的数量（涉及单调栈 + 计数DP/贡献法）。
   • 教练点评：不仅仅是求最大面积，而是求由于某种限制下的方案数。需要利用单调栈找到边界后，通过数学公式计算贡献。

10. P1169 [ZJOI2007] 棋盘制作

    • 难度：省选/NOI-
    • 知识点：最大黑白相间子矩形（悬线法/单调栈 + 预处理）。
    • 教练点评：属于 P4147 的变种，难点在于如何把“黑白相间”转化为“01矩阵”来处理（通常用 (i+j)%2 的异或技巧）。

---

💡 教练的刷题建议

1. 手动画图：做前三道题时，一定要在草稿纸上画出栈的 push 和 pop 过程，搞清楚到底是在“入栈时”统计答案，还是在“出栈时”统计答案。
2. 关注边界：做“最大矩形”类问题时，为了防止遍历完数组后栈还不为空，通常会在数组最后加一个高度为 0 的哨兵元素，强制清空栈，计算剩余元素的贡献。
3. 调试技巧：如果 WA 了，检查是否混淆了“存下标”和“存数值”。通常存下标更灵活，因为通过下标既能找到值，也能计算宽度。

加油！把这 10 道题吃透，单调栈这个知识点你就通关了。