你好！我是你的信息学奥赛教练。

很高兴看到你的题库越来越丰富！我们已经涵盖了从分子层面的DNA/RNA，到细胞层面的生命历程，再到遗传学和进化论。

今天这道题，我们把视角转向植物生理学，具体是高中生物必修三《稳态与环境》中关于 “植物生长素与向重力性” 的内容。

这道题目考察的是二维数组操作以及经典的 动态规划（Dynamic Programming, DP） 入门模型（类似“数字金字塔”）。难度定位 GESP 5级（约等于 CSP-J T2/T3）。

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题目：根的向地性生长 (Geotropic Growth of Roots)

【背景知识讲解】

在植物生长过程中，生长素（Auxin）起着至关重要的调节作用。植物的根具有“向地性”（Geotropism），即在重力的影响下，根会顺着重力方向（向下）生长，以便寻找土壤深处的水分和无机盐。

然而，土壤的环境是复杂的。

1. 资源分布不均：土壤中不同位置的水分和矿质元素含量不同（我们可以将其数字化为“营养值”）。
2. 物理障碍：土壤中可能存在石块或硬土层，根系无法穿过（视为障碍物）。

植物的根尖分生区细胞在分裂和伸长时，会做出“选择”：在保持向下生长的大趋势下，微调方向，避开石头，并尽可能穿过营养丰富的区域。

【题目描述】

我们将土壤环境简化为一个 $N$ 行 $M$ 列的二维网格。

• 行编号从 $1$ 到 $N$（从上到下，代表深度）。
• 列编号从 $1$ 到 $M$（从左到右）。

网格中的每个格子 $(i, j)$ 都有一个整数值 $V_{i,j}$：

• 如果 $V_{i,j} = -1$，表示该位置是石头，根无法到达或穿过。
• 如果 $V_{i,j} \ge 0$，表示该位置的营养值。

植物的种子位于第 $1$ 行的某一列 $S$（起始点）。根从 $(1, S)$ 出发，开始向下生长。 生长规则： 为了保持向地性，根在到达位置 $(i, j)$ 后，下一步只能生长到下一行的相邻位置。具体来说，只能移动到：

1. 正下方：$(i+1, j)$
2. 左下方：$(i+1, j-1)$
3. 右下方：$(i+1, j+1)$

注意：根不能长出网格边界，也不能进入有石头（$-1$）的格子。

请计算：根从第 $1$ 行生长到第 $N$ 行的过程中，所经过的所有路径中，能够获得的最大总营养值是多少？ 如果根无法生长到第 $N$ 行（被石头堵死了），请输出 -1。

【输入格式】

第一行包含三个整数 $N, M, S$，分别表示行数、列数和种子的起始列编号。 接下来 $N$ 行，每行 $M$ 个整数。第 $i$ 行第 $j$ 个整数表示土壤网格 $(i, j)$ 的数值 $V_{i,j}$。

【输出格式】

输出一个整数，表示能够获得的最大总营养值。如果无法到达第 $N$ 行，输出 -1。

【样例数据】

输入：

4 5 3
0 0 10 0 0
2 5 -1 3 1
-1 8 4 2 6
1 3 5 -1 9

输出：

28

样例解释： 种子从 $(1, 3)$ 出发，营养值为 10。

1. 第1步：在 $(1,3)$，值为 10。

   • 可选下一步：$(2,2)=5$, $(2,3)=-1$(石头), $(2,4)=3$。
   • 显然不能走石头。

2. 第2步：

   • 如果选 $(2,2)$ [当前总分 15]：下一步可选 $(3,1)=-1$, $(3,2)=8$, $(3,3)=4$。
   • 如果选 $(2,4)$ [当前总分 13]：下一步可选 $(3,3)=4$, $(3,4)=2$, $(3,5)=6$。

3. 贪心陷阱：

   • 如果第2步只看眼前，选最大的 5 (位置2,2)，那么第3步选最大的 8 (位置3,2)，第4步选 3 (位置4,2)。总分 $10+5+8+3 = 26$。
   • 但是：题目要求必须走到第 $N$ 行吗？是的。
   • 让我们用动态规划全局来看最优路径。
   • 路径：$(1,3) \to (2,2) \to (3,2) \to (4,2)$。总分 $10+5+8+3 = 26$。
   • 路径：$(1,3) \to (2,4) \to (3,5) \to (4,5)$。总分 $10+3+6+9 = 28$。

   手动推导 (DP)：

   • Row 1: 0 0 10 0 0 (只有 (1,3) 是起点，其他不可达设为 -inf)
     • DP[1] = [-inf, -inf, 10, -inf, -inf]
   • Row 2: 2 5 -1 3 1
     • (2,1): 来自(1,2)，无。
     • (2,2): 来自(1,1),(1,2),(1,3)。Max(10) + 5 = 15。
     • (2,3): 石头。
     • (2,4): 来自(1,3),(1,4),(1,5)。Max(10) + 3 = 13。
     • (2,5): 来自(1,4),(1,5)。无。
     • DP[2] = [-inf, 15, -inf, 13, -inf]
   • Row 3: -1 8 4 2 6
     • (3,1): 石头。
     • (3,2): 来自(2,1),(2,2),(2,3)。Max(-inf, 15, -inf) + 8 = 23。
     • (3,3): 来自(2,2),(2,3),(2,4)。Max(15, -inf, 13) + 4 = 19。
     • (3,4): 来自(2,3),(2,4),(2,5)。Max(-inf, 13, -inf) + 2 = 15。
     • (3,5): 来自(2,4),(2,5)。Max(13, -inf) + 6 = 19。
     • DP[3] = [-inf, 23, 19, 15, 19]
   • Row 4: 1 3 5 -1 9
     • (4,1): 来自(3,1),(3,2)。Max(-inf, 23) + 1 = 24。
     • (4,2): 来自(3,1),(3,2),(3,3)。Max(-inf, 23, 19) + 3 = 26。
     • (4,3): 来自(3,2),(3,3),(3,4)。Max(23, 19, 15) + 5 = 28。
     • (4,4): 石头。
     • (4,5): 来自(3,4),(3,5)。Max(15, 19) + 9 = 28。

   我的推导结果是 28。

   最终样例输出：

   28
   

   (路径：10 -> 3 -> 6 -> 9 = 28，或者 10 -> 5 -> 8 -> 5 = 28)

【数据范围】

• 对于 100% 的数据：$1 \le N, M \le 1,000$。
• $0 \le V_{i,j} \le 100$ 或 $V_{i,j} = -1$。
• 保证起点 $(1, S)$ 不是石头。

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一、 思路提示

1. 贪心法不可行：
   • 就像上面的例子，如果根在第二行选择了最大的 $5$，虽然局部最优了，但可能导致它在第三行没法走到最大的 $6$ 或者 $9$ 那边去。
   • 启示：这一步的选择会影响下一步，必须统筹考虑。
2. 倒着想（或者状态转移）：
   • 想要知道“到达 $(i, j)$ 的最大营养值”，必须知道上一行能到达它的三个位置 $(i-1, j-1), (i-1, j), (i-1, j+1)$ 的最大营养值。
   • 这就是典型的动态规划。
   • 定义状态 $dp[i][j]$ 为：根生长到达格子 $(i, j)$ 时累积的最大营养值。
3. 状态转移方程：
   • $dp[i][j] = V_{i,j} + \max(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j], dp[i-1][j+1])$
   • 前提：$V_{i,j}$ 不是石头，且上一行的对应位置是可达的（不是负无穷）。
4. 边界处理技巧：
   • 第 1 行只有 $(1, S)$ 有初始值，其他位置应该设为“负无穷”（表示不可达）。
   • 在访问 $j-1$ 或 $j+1$ 时，要注意不要越界（列号 $1$ 到 $M$）。
   • 遇到石头时，该位置的 $dp$ 值也应设为“负无穷”。

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二、 预备知识点总结

1. 二维数组：用于存储地图和 DP 状态。
2. 动态规划 (DP)：理解“子问题”和“状态转移”。这是数字三角形模型的变体。
3. 边界条件判断：处理网格边缘。
4. 初始化：将不可达的状态初始化为一个极小值（如 -1 或 -1e9），以便在取 max 时被自然淘汰。

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三、 启发式教学：草稿纸上的推理过程

教练：“我们把地图画在纸上。这一层层的土，就像一级级台阶。”

1. 初始化：
   • 在第一层，除了起点 $S$ 写上它的数值，其他格子都打个叉（×），表示根不可能“凭空”出现在那里。
2. 推导第二层：
   • 指着 $(2, j)$ 这个格子：“它的营养来自哪里？”
   • “来自头顶上的 $(1, j-1), (1, j), (1, j+1)$。”
   • “如果头顶上是石头或者打叉的，能算吗？” “不能。”
   • “所以我们挑一个头顶上最大的数，加上现在的营养值，填进去。”
3. 遇到石头：
   • “如果我们现在这个格子是石头怎么办？”
   • “直接打叉（×）。根长不过来，也长不下去。”
4. 最终答案：
   • “推到第 $N$ 层后，我们在这一行里找最大的那个数，就是答案。”
   • “如果第 $N$ 层全是叉（×）怎么办？” “说明根半路就全被石头堵死了，输出 -1。”

时间复杂度分析：

• 我们要填满一个 $N \times M$ 的表格。
• 填每个格子只需要做 3 次比较和 1 次加法。
• 总运算量是 $O(N \times M)$。
• $1000 \times 1000 = 10^6$，计算机 1 秒能跑 $10^8$，所以非常轻松！

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四、 读题关键词总结

1. “最大总营养值” $\rightarrow$ 最优化问题，考虑贪心或 DP。
2. “只能移动到下方相邻” $\rightarrow$ 典型的数字三角形路径模型，确定使用 DP。
3. “石头 (-1)” $\rightarrow$ 状态转移中的阻断条件。
4. “从 (1, S) 出发” $\rightarrow$ 初始状态的唯一性。

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【样例数据】

输入：

4 5 3
0 0 10 0 0
2 5 -1 3 1
-1 8 4 2 6
1 3 5 -1 9

输出：

28

【样例详细解释（草稿纸推导过程）】

为了求得最大营养值，我们使用动态规划（DP）方法。设 $dp[i][j]$ 为到达第 $i$ 行第 $j$ 列时的最大累积营养值，不可达的位置设为 $-\infty$。

1. 初始化第一行（起点）

种子在第1行第3列，起始值 $V_{1,3} = 10$。其他位置不可达。

• dp[1] = [-inf, -inf, 10, -inf, -inf]

2. 推导第二行

• $(2,1)=2$: 来源 $(1,1),(1,2)$，均为 -inf，结果 -inf。
• $(2,2)=5$: 来源 $(1,1),(1,2),(1,3)$，最大值来自 $(1,3)=10$。$10+5 = \mathbf{15}$。
• $(2,3)=-1$: 石头。结果 -inf。
• $(2,4)=3$: 来源 $(1,3),(1,4),(1,5)$，最大值来自 $(1,3)=10$。$10+3 = \mathbf{13}$。
• $(2,5)=1$: 来源 $(1,4),(1,5)$，均为 -inf，结果 -inf。
• dp[2] = [-inf, 15, -inf, 13, -inf]

3. 推导第三行

• $(3,1)=-1$: 石头。结果 -inf。
• $(3,2)=8$: 来源 $(2,1),(2,2),(2,3)$，最大值来自 $(2,2)=15$。$15+8 = \mathbf{23}$。
• $(3,3)=4$: 来源 $(2,2),(2,3),(2,4)$，最大值来自 $\max(15, 13)=15$。$15+4 = \mathbf{19}$。
• $(3,4)=2$: 来源 $(2,3),(2,4),(2,5)$，最大值来自 $(2,4)=13$。$13+2 = \mathbf{15}$。
• $(3,5)=6$: 来源 $(2,4),(2,5)$，最大值来自 $(2,4)=13$。$13+6 = \mathbf{19}$。
• dp[3] = [-inf, 23, 19, 15, 19]

4. 推导第四行（最后一行）

• $(4,1)=1$: 来源 $(3,1),(3,2)$，最大值来自 $(3,2)=23$。$23+1 = 24$。
• $(4,2)=3$: 来源 $(3,1),(3,2),(3,3)$，最大值来自 $\max(23, 19)=23$。$23+3 = 26$。
• $(4,3)=5$: 来源 $(3,2),(3,3),(3,4)$，最大值来自 $\max(23, 19, 15)=23$。$23+5 = \mathbf{28}$。
• $(4,4)=-1$: 石头。结果 -inf。
• $(4,5)=9$: 来源 $(3,4),(3,5)$，最大值来自 $\max(15, 19)=19$。$19+9 = \mathbf{28}$。
• dp[4] = [24, 26, 28, -inf, 28]

最大值结论：在第4行（深度 $N$）中，最大营养值为 28。

5. 最优路径可视化

本题存在两条获得 28 营养值的最优路径：

1. $(1,3) \xrightarrow{10} (2,2) \xrightarrow{5} (3,2) \xrightarrow{8} (4,3) \xrightarrow{5} \text{总和 } 28$
2. $(1,3) \xrightarrow{10} (2,4) \xrightarrow{3} (3,5) \xrightarrow{6} (4,5) \xrightarrow{9} \text{总和 } 28$

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二、 预备知识点总结（针对 GESP 5 级）

1. 动态规划基础：理解“当前的最优状态依赖于前一阶段的最优状态”。
2. 二维数组应用：学会利用二维数组模拟物理空间（土壤网格）。
3. 负无穷初始化（哨兵思想）：在求最大值问题中，将非法或不可达的状态设为极小值（如 -1e9），可以极大简化边界条件的 if-else 判断。
4. 方向向量与邻接访问：处理 (j-1, j, j+1) 的逻辑，预防下标越界。

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三、 读题关键词总结

• “从第1行生长到第N行”：确定了状态转移的方向性。
• “相邻位置（正下、左下、右下）”：确定了状态转移方程的来源（三个方向）。
• “石头 (-1)”：状态转移的阻断点。
• “最大总营养值”：确立了 DP 的目标是 max 操作而非 min 或路径数。

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四、 性能优化建议

1. 时间复杂度优化： 本题已经是 $O(N \times M)$，属于该模型的理论下界，无法继续降低大 $O$ 阶数。但在常数优化上，可以使用指针访问数组或减少 max 函数的调用。
2. 空间复杂度优化（滚动数组）： 由于每一行状态只依赖于上一行，我们可以将 $O(N \times M)$ 的空间优化为 $O(2 \times M)$。
   • 实现方法：定义 int dp[2][M+2]，利用 row % 2 和 (row - 1) % 2 轮换使用两行空间。这在 $N, M$ 达到 $10000$ 以上时非常有效，但在本题 $1000$ 的规模下，使用二维数组更稳妥。

这个 28 的结果验证了滑动窗口和 DP 状态转移逻辑的正确性！