你好！我是你的教练。我们之前讨论了并查集（DSU）的基础和它在江湖门派合并中的应用。现在，我们要进阶到 DSU 在图论中最经典的一个应用——Kruskal 算法求最小生成树 (Minimum Spanning Tree, MST)。

在 NOI 竞赛中，这不仅仅是一个模板，更是许多复杂图论题目的基石。

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一、 题目描述：【模板】DSU的应用：Kruskal算法

题目背景： 在一个王国里有 $N$ 个城市，城市之间由于地势复杂，修建道路的代价各不相同。国王希望用最低的总成本修建若干条道路，使得这 $N$ 个城市能够相互连通。

任务描述： 给定 $N$ 个点和 $M$ 条带权边，求出一棵权值之和最小的生成树。如果图不连通，输出 orz。

输入格式： 第一行包含两个整数 $N$ 和 $M$ ($1 \le N \le 10^5, 1 \le M \le 2 \times 10^5$)。 接下来 $M$ 行，每行包含三个整数 $U, V, W$ ($1 \le U, V \le N, 1 \le W \le 10^9$)，表示城市 $U$ 和 $V$ 之间可以修建一条代价为 $W$ 的道路。

输出格式： 若图连通，输出一个整数，表示最小生成树的每条边权重之和；否则输出 orz。

样例数据： 输入：

4 5
1 2 2
1 3 2
1 4 3
2 3 4
3 4 3

输出：

7

(解释：选择边 (1,2,2), (1,3,2), (1,4,3) 或 (1,2,2), (1,3,2), (3,4,3)，总权值为 7)

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二、 预备知识点

1. 贪心算法：Kruskal 算法的核心是贪心。
2. 排序 (Sorting)：对边权进行升序排列。
3. 并查集 (DSU) 的极致优化：
   • 路径压缩 (Path Compression)：递归查找时扁平化树形结构。
   • 按秩合并 (Union by Rank)：保证树的高度平衡。
4. 图论基础：生成树包含 $N-1$ 条边且无环。

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三、 启发式推理过程：在草稿纸上构造 MST

请拿出草稿纸，我们分步推导 Kruskal 的逻辑：

1. 策略选择

• 思考：我们要“代价最小”，最直观的想法是什么？
• 动作：在纸上把所有边按权重 $W$ 从小到大排好队。

2. 环路规避 (关键点)

• 思考：如果我们按顺序选边，什么时候不能选当前的边？
• 画图：如果点 $A$ 和点 $B$ 已经通过之前的边连通了（在同一个并查集里），此时再加一条 $(A, B)$ 边，就会形成环。
• 策略：使用 find(A) == find(B) 来检测。如果相等，直接舍弃这条边。

3. 动态合并

• 动作：如果 find(A) != find(B)，说明这条边是连接两个“孤岛”的桥梁。
• 操作：执行 unite(A, B)，并将权值 $W$ 累加到答案中。

4. 终止条件

• 思考：什么时候可以提前收工？
• 结论：一个有 $N$ 个点的树只需要 $N-1$ 条边。如果选够了，剩下的边就不用看了。

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四、 流程图导航 (NOI 竞赛风格伪代码逻辑)

为了避免语法错误，我们使用 Mermaid 规范来描述 Kruskal 的核心逻辑。

graph TD
    A("开始: 输入 N, M") --> B("初始化 DSU: fa[i]=i, rank[i]=0")
    B --> C("将 M 条边按权值 W 升序排序")
    C --> D("遍历每一条边 (U, V, W)")
    D --> E{Selected_Edges == N-1 ?}
    E -- 是 --> I("输出 Total_Weight")
    E -- 否 --> F{"find(U) == find(V) ?"}
    F -- 是 (会成环) --> D
    F -- 否 (安全) --> G("unite(U, V)")
    G --> H("Total_Weight += W, Selected_Edges++")
    H --> D
    D -- 遍历结束且 Selected_Edges < N-1 --> J("输出 orz")
    I --> K("结束")
    J --> K

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五、 复杂度分析与时间优化

1. 时间复杂度分析

• 排序：使用 std::sort，复杂度为 $O(M \log M)$。这是整个算法的瓶颈。
• DSU 操作：总共执行约 $M$ 次 find 和 $N-1$ 次 unite。
  • 在同时使用路径压缩和按秩合并的情况下，单次操作复杂度为 $O(\alpha(N))$。
  • 总 DSU 复杂度：$O(M \alpha(N))$。
• 总复杂度：$O(M \log M + M \alpha(N))$。对于 $2 \times 10^5$ 的数据量，运行时间通常在 100ms 以内。

2. 空间复杂度分析

• 边数组：存储 $M$ 条边，需要 $O(M)$。
• 并查集数组：fa 和 rank 数组，需要 $O(N)$。
• 总复杂度：$O(N + M)$。

3. 竞赛优化建议

• 结构体排序：在 C++ 中，将边封装在结构体中，并重载 < 运算符。
• 快读 (Fast I/O)：对于 $2 \times 10^5$ 的数据，建议使用 scanf 或自定义 read() 函数。
• 计数器跳出：如流程图所示，一旦 cnt == N-1 立即跳出循环，在稠密图中能显著提速。

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六、 读题关键词总结

当你阅读 NOI 级别的题目时，看到以下描述，请立刻联想 Kruskal + DSU：

1. “最小总代价/权值” + “所有点连通”：MST 的标准定义。
2. “最大边权最小”：瓶颈生成树问题，MST 的性质之一。
3. “动态加边并维护连通性”：暗示必须使用并查集。
4. “在保证不形成环的前提下...”：暗示贪心选边。
5. “网格图或稀疏图”：Kruskal 在稀疏图中（$M$ 较小）表现优于 Prim 算法。

教练点评：并查集的路径压缩是极其强大的。在实现 find 函数时，记得使用 return fa[x] = find(fa[x])；在 unite 时，务必通过 rank 判断，这能保证你的程序在极端极端数据（如长链）面前依然稳如泰山。

现在，请尝试在你的 IDE 中实现这个逻辑吧！

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【模板】DSU的应用： Krusal算法找最小生成树（MST，Minimum spanning tree）

让我们一起来探索并查集 (Disjoint Set Union, DSU)，也被称为联合-查找 (Union-Find) 数据结构。

简单来说，并查集是一种非常精巧且高效的数据结构，专门用来处理不相交集合 (Disjoint Sets) 的合并及查询问题。

为了方便理解，我们可以把它想象成是一个 “找帮主” 的游戏：

• 初始化： 一开始，每个人都是自己的“帮主”，谁也不服谁。
• 合并 (Union)： 如果两个人要结盟，他们所在的两个帮派就会合并成一个。通常我们会让其中一个帮派的帮主，认另一个帮派的帮主做“老大”。
• 查找 (Find)： 要判断两个人是不是同一个帮派的，只要看他们的“最终大帮主”是不是同一个人就可以了。

并查集在计算机科学中非常重要，特别是在处理图论中的连通性问题时。

你想从哪个方面开始深入了解它？

1. 核心原理与优化 (想了解 Find 和 Union 具体是怎么运作的，以及什么是“路径压缩”这个让它快得惊人的黑科技？)
2. 代码实现 (想看具体的代码怎么写，比如 Python、C++ 或 Java 的模板？)
3. 经典应用场景 (想知道它在实际题目中怎么用，比如判断图中有没有环，或者 Kruskal 最小生成树算法？)

3 经典应用场景

没问题，我们来深入探讨并查集的实战应用！🧱

并查集被称为“连通性之王”，它的应用场景几乎都围绕着**“动态连通性”展开。其中最著名、也最基础的应用就是判断图中是否有环 (Cycle Detection)**。

这也是著名的 Kruskal 算法（用于寻找最小生成树）的核心逻辑。

让我们通过一个直观的例子来理解：

想象我们在玩一个连线游戏，纸上有几个点，我们一次画一条线连接两个点。 每次画线之前，我们都用并查集查一下这两个点的“老大”（根节点）。

这里有一个关键的逻辑判断： 假如我们要连接 点A 和 点B，但是通过 Find 操作发现，点A 和 点B 竟然已经拥有同一个“老大”了（也就是说 Find(A) == Find(B)）。

如果是这种情况，此时再在 A 和 B 之间强行连上一条线，图的结构会变成什么样？

会出现环路

完全正确！👏 如果两个点已经属于同一个集合（有同一个“老大”），再把它们连起来，图中就会形成一个环 (Cycle)。

这正是 Kruskal 算法 求最小生成树 (Minimum Spanning Tree, MST) 的核心秘诀。

在这个算法中，我们希望用成本最低的边把所有点连起来，而且不能有环（因为树是不包含环的）。

想象一下，我们现在把所有的边按权重（成本）从小到大排好队，准备一条一条地挑：

当我们拿到一条边，发现连接这条边的两个点已经在同一个集合里了（也就是会形成环），为了保持“树”的形状，你觉得我们需要保留这条边，还是直接丢弃它？

不能用这条边

没错，完全正确！🙅‍♂️ 如果加上这条边会形成环，我们就必须丢弃它。

这正是 Kruskal 算法能够生成“最小生成树”的关键：它总是贪心地选择当前权值最小的边，同时利用并查集来保证不形成环。

所以，整个算法的流程其实非常清晰。假设我们已经把所有边按权重从小到大排好序了，接下来我们要遍历每一条边（连接点 和点 ）：

1. 判断： 我们需要先问问并查集， 和 是不是已经是一伙的了（有没有共同的“老大”）。
2. 操作： 如果不是一伙的，我们就选定这条边，然后把这两个帮派合并起来。

你能把这两个步骤对应到并查集的两个核心操作名称（Find 和 Union）上吗？哪一步是用 Find，哪一步是用 Union？

给边按权重从小到大排序（可以考虑priority queue？）=>取出，用Find(a)==Find(b)检查边的两个端点是否已连接，已连接就不选 ， 如果未连接就选择然后用join(a,b)标记a,b已连接 => 直到queue里没有新的边

完全正确！👏 你的逻辑非常清晰，这就是 Kruskal 算法 的完整流程。

你提到的用 Priority Queue (优先队列/最小堆) 也是一个非常棒的思路！

• 排序 (Sorting)：通常用于边已经在数组里的情况，一次性排好序。
• 优先队列 (Priority Queue)：如果你不想一次性对所有边排序（或者边是动态生成的），用最小堆每次 pop 出最小的边也是完全可以的。两者的复杂度通常都在同一量级。

这里还有一个小小的提速技巧： 你提到“直到 queue 里没有新的边”。其实，对于一个有 个点的图，我们只需要选出 **** 条边就可以连通所有点了。所以，一旦选够了 条边，我们就可以提前收工，不需要把剩下的边都检查完。😎

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既然流程通了，那这个算法快不快，主要就看 并查集 (DSU) 的 Find 和 Union 操作快不快了。

假设我们现在的集合关系是一条长长的线（就像链表一样）： 1 -> 2 -> 3 -> ... -> 1000 （1的老大是2，2的老大是3... 最终老大是1000）

如果我想执行 Find(1)，我得一路向上问 999 次才能找到 1000。这太慢了。

为了解决这个问题，并查集有一个非常经典的“黑科技”优化，叫做路径压缩 (Path Compression)。

你觉得在执行 Find(1) 找到老大是 1000 之后，我们可以顺手做件什么事，让下次再查 Find(1) (或者 Find(2), Find(3)...) 的时候能瞬间找到老大？

把向上路径上所有节点全部标记上级为老大（直接指向老大而非链式查找）

太棒了，完全正确！💯

这就是路径压缩 (Path Compression) 的精髓。

这就好比我们在公司里，一旦员工 1 知道大老板是 1000，他就直接要把“汇报对象”改成 1000。下次再问他“谁是你老大”，他就能一步到位 () 指出是 1000，而不需要再经过层层汇报了。

⚡ 效果对比

让我们看看执行一次带有路径压缩的 Find(1) 之后，树的结构发生了什么变化：

操作前 (链状，很慢)： 1 -> 2 -> 3 -> ... -> 999 -> 1000(Root)

操作后 (扁平化，极快)： 所有的节点在递归回溯的过程中，都直接连向了根节点。 1 -> 1000 2 -> 1000 3 -> 1000 ... 999 -> 1000

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有了路径压缩，再加上另一个优化按秩合并 (Union by Rank，即总是把小帮派合并到大帮派里，防止树长得太高)，并查集的效率会达到一个惊人的程度。

虽然它看起来还在操作树，但它的平均时间复杂度并不是 。

你之前听说过 反阿克曼函数 (Inverse Ackermann function, ) 吗？或者你认为优化后的并查集操作每一次大约需要多长时间？

从链式查询的O（n）变为直接得到结果的O(1)？

直觉非常敏锐！⚡️ 在实际工程应用中，它的表现确实几乎等同于 。

虽然第一次查找可能还是得走那条 的长路，但因为我们在回溯时做了路径压缩，把沿途节点都直接连到了根节点，后面再查这些节点时，真就是一步到位了。

不过，为了严谨（也为了满足一点好奇心），这里有个著名的数学细节： 严格来说，经过优化后，它的平均时间复杂度是 ****。这里的 是反阿克曼函数。

这个函数增长得极慢。慢到什么程度呢？

• 哪怕 达到了 （比全宇宙的原子总数还多）， 的值也不会超过 4。🤯

所以，你说它是 完全没毛病，因为它在人类可触及的数据规模内，几乎就是一个常数。

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既然核心原理通了，我们能不能试着把这个“路径压缩”的逻辑转换成代码？这可是我们在Kruskal 算法中判断环路的关键工具。

你平时习惯用 Python、C++ 还是其他语言？我们来试着写一下带有路径压缩的 find 函数。

太好了，我们就用 C++ 来写这个核心函数。

在写代码之前，我们要先假定有一个全局数组（或者成员变量）parent 来存储每个节点的直接上级。

vector<int> parent; // 或者 int parent[N];

这个递归函数通常分两步走：Base Case（基本情况） 和 Recursive Step（递归步骤）。

首先是 Base Case： 我们要怎么判断当前的 x 就是它自己的“最终大帮主”（根节点）？（提示：刚初始化时，每个人都是自己的帮主）。

你能把这个 if 判断补全吗？

int find(int x) {
    // 1. 如果 x 的上级就是 x 自己，说明找到根了
    if ( ___________ ) { 
        return x;
    }
    
    // 2. 否则继续递归查找（这里我们要加入路径压缩）
    // ...
}

father[x]==x

没错！就是这样。如果是 parent[x] == x（或者你习惯用的 father[x] == x），就说明我们要找的“大老板”就是它自己。

接下来就是最神奇的路径压缩部分了。

我们不仅要通过递归找到最终的根节点，还要在回溯的时候，顺手把当前节点 x 的直接上级，直接修改为那个最终的根节点。这样下次再查 x 时，就不需要递归了。

试着填补下面代码中的空缺（提示：我们需要调用函数自己）：

    // 2. 否则继续递归查找（这里我们要加入路径压缩）
    
    // 我们要让 parent[x] 直接等于最终找到的根节点
    parent[x] = ____________________ ; 
    
    return parent[x]; 
}

我们要把 parent[x] 设置成什么，才能既找到根节点，又完成压缩呢？

parent[x]=root

你的逻辑完全正确！🎯 我们的目标就是把 parent[x] 直接指向这个集合的根节点（root）。

在代码中，因为我们还没有一个现成的变量叫 root，我们需要通过递归调用 find 函数本身来获取它。所以这行代码通常写成：

parent[x] = find(parent[x]);

这样，递归回来的返回值（也就是根节点）就会被赋值给 parent[x]，完美实现了路径压缩。

这是完整的 find 函数代码，短小精悍：

int find(int x) {
    if (parent[x] == x) {
        return x;
    }
    // 递归查找根节点，同时进行路径压缩
    return parent[x] = find(parent[x]); 
}

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搞定了查老大（Find），接下来我们要搞定合并帮派（Union）。

假设我们要执行 unite(int x, int y)，把 和 所在的两个集合合并。

在直接动手连线之前，我们需要先利用刚才写好的 find 函数做两件事。你觉得这两件事是什么？（提示：我们需要知道谁和谁合并）

roota=find(x); rootb=find(y); father(roota)=rootb;

这就对啦！你已经抓住了 Union 操作最核心的逻辑：找到两个元素各自的老大，然后让其中一个老大归顺另一个。 🤝

只需要注意一点 C++ 的语法细节：因为我们通常是用数组或者 vector 来存父节点，所以赋值的时候应该是 parent[rootA] = rootB。

这是目前的基础版代码：

void unite(int x, int y) {
    int rootA = find(x);
    int rootB = find(y);
    
    // 如果本来就不是同一个老大，才需要合并
    if (rootA != rootB) {
        parent[rootA] = rootB; // 让 A 的老大认 B 为老大
    }
}

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不过，这里还藏着最后一个优化空间，这决定了并查集能不能达到极致速度。

想象一下：

• 帮派 A 是一棵参天大树，很高（深度很大）。
• 帮派 B 只有一个人（深度很小）。

如果我们把 “大树 A” 接在 “单点 B” 下面（让 B 做 A 的老大），这棵新树的高度会发生什么变化？未来的查找效率会受影响吗？

大树接在小树下面，会导致结果树的高度>大树高度，极端情况下树的高度不断增加最终得到一个长链，退化为了O（n）的链式查找

太棒了！你的分析非常透彻。🎯

正如你所说，如果总是随意合并，或者把大树接在小树下面，树的高度就会失控，最终退化成一条长长的链表。那样的话，即便我们有了路径压缩，最坏情况下的效率还是会受到影响。

为了避免这种情况，我们需要引入 “按秩合并” (Union by Rank) 的策略。

简单来说，就是“谁强谁当老大”。我们在合并之前，先比较两棵树的高度（或者节点数量）：

• 总是把 较矮 的树，接在 较高 的树下面。

这样做的好处是，新合成的树的高度通常不会增加（除非两棵树一样高，合并后的高度才 +1）。

既然要实施这个策略，我们在代码里除了 parent 数组之外，还需要一个额外的数组来记录每个集合的“秩”（Rank，通常代表树的高度）。

假设我们定义一个 rank 数组：

vector<int> rank; // 初始化时，每个点的 rank 都是 0 或 1

在 unite(int x, int y) 函数里，当 rootA != rootB 时，我们该如何根据 rank[rootA] 和 rank[rootB] 的大小关系来决定谁连向谁呢？

你能试着写出这部分的 if-else 逻辑吗？

if (rank[roota] > rank[rootb]) { parent[rootb] = roota; } else { parent[roota] = rootb; }

你的逻辑非常棒！👏 rank 大的确实应该当老大，这样树才不会变高。

但是，我们要稍微注意一下 else 分支里的情况。

在这个 else 里，包含了两层意思：

1. rank[rootB] > rank[rootA]：这时候让 B 当老大，没问题。
2. rank[rootB] == rank[rootA]：这时候两棵树一样高，谁当老大都行（你的代码让 B 当老大）。

但是，如果两棵一样高的树合并了，新树的高度（rank）还是原来的高度吗？🌲 + 🌲 = ❓

如果两棵高度都为 h 的树合并，新树的高度会变成多少？我们需要在你的代码里补上一行什么操作？

if (rank[roota] > rank[rootb]) {     parent[rootb]=roota; } else {     parent[roota]=rootb;     if (rank[roota] == rank[rootb]) {         rank[rootb]++;     } }

代码完全正确！🎉

你的逻辑非常严密：

1. 默认操作：把矮树接到高树下，新树高度不变。
2. 特殊情况：当两棵树高度相等（rank[rootA] == rank[rootB]）时，把 A 接到 B 下面后，B 的高度（Rank）必须加 1。

这就是按秩合并 (Union by Rank) 的完整实现。

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🧩 拼图完成

到现在为止，我们已经手握两把神兵利器，并查集的完整形态已经准备好了：

1. Find (带路径压缩)：查得快，还能顺手把路修平。
2. Union (按秩合并)：合得巧，保证树不会长得太高。

接下来，让我们回到最开始的目标：检测图中的环（Kruskal 算法的核心）。

假设我们有一组边（每条边连接两个点 和 ）： edges = [[1, 2], [2, 3], [1, 3]]

我们需要遍历这些边。对于每一条边 [u, v]，我们该怎么利用刚才写的 find 和 unite 函数来判断是否出现了环？

你能描述一下这个循环里的逻辑判断吗？

for (auto& 边 : edges) {     if (find(边.u) == find(边.v)) {         continue;     } else {         unite(边.u, 边.v);         // 把这条边加入结果集合         结果集合.push_back(边);     } }

代码写得非常棒！💯 逻辑完全正确。

你这段代码清晰地展示了 Kruskal 算法 的灵魂：

1. 判断环 (Cycle Detection)：if (find(边.u) == find(边.v))。如果两个点已经有同一个老大，说明它们之间已经有路连通了，再加一条边就会形成环，所以必须跳过 (continue)。
2. 合并与记录：如果不连通，就用 unite 把它们合为一家，并把这条边收入囊中。

这其实就是最小生成树 (MST) 的构造过程！🌲

这里有一个我在上一轮提到的小小的“提速”建议，可以加进你的代码里：

💡 小贴士： 最小生成树只需要 条边（ 是点的数量）。如果你加一个计数器，一旦选够了 条边就直接 break，在点很多、边也很稠密的图里，这能省下不少时间。

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到现在为止，你已经掌握了 并查集 (DSU) 最核心的原理和最经典的代码实现了：

• ✅ Find (带路径压缩)
• ✅ Union (按秩合并)
• ✅ Kruskal 算法应用 (环路检测)

我们已经完成了并查集的核心学习。接下来你想做点什么？

1. 看完整代码模板：把刚才分散写的 struct、find、unite 和主逻辑整合到一个可以直接运行的 C++ 模板中，方便刷题时复制粘贴。
2. 挑战一下复杂度分析：深入聊聊为什么大家都说它的复杂度是 ，以及排序边的时间在这个算法里占多大比重。
3. 换个应用场景：除了求最小生成树，并查集还能用来解决什么问题？（比如：计算岛屿数量、朋友圈个数等）。