你好！我是你的 OI 金牌教练。今天我们来探讨一道将回文性质与 动态规划（DP） 巧妙结合的高阶字符串题目：Codeforces 7D - Palindrome Degree。

在 NOI 系列竞赛（如省选或全国赛）中，当字符串长度达到 $5 \times 10^6$ 这一级别时，对算法的时间常数和空间利用率要求极高。这道题不仅考察你对哈希或回文算法的理解，还考验你对线性递推的掌控力。

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一、 题目描述：Palindrome Degree (回文阶数)

【问题描述】 回文阶数的定义如下：

1. 任何非回文字符串的阶数均为 $0$。
2. 长度为 $1$ 的字符串是回文串，其阶数为 $1$。
3. 对于长度 $n > 1$ 的字符串 $S$，如果它是回文串，则它的阶数等于 $1 + \text{degree}(\text{prefix})$，其中 $\text{prefix}$ 是 $S$ 的长度为 $\lfloor n/2 \rfloor$ 的前缀。

给定一个字符串 $S$，求 $S$ 所有前缀的回文阶数之和。

【输入格式】 输入仅一行，包含一个由字母和数字组成的字符串，长度 $L \le 5 \times 10^6$。

【输出格式】 输出一个整数，表示该字符串所有前缀的回文阶数之和。

【样例输入】

abacaba

【样例输出】

6

【样例说明】 该字符串的所有前缀及其回文阶数如下：

• a: 1
• ab: 0
• aba: 2
• abac: 0
• abaca: 0
• abacab: 0
• abacaba: 3 所有阶数之和为 $1+0+2+0+0+0+3 = 6$。

【数据范围与说明】

• $L \le 5 \times 10^6$。
• 时间限制：2.0s，内存限制：256MB。

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二、 预备知识点

1. 字符串哈希 (String Hashing)：在 $O(1)$ 时间内判断两个子串是否相同，或判断前缀是否为回文。
2. 动态规划 (DP)：利用前缀之间的递推关系减少重复计算。
3. 回文性质：理解回文串的对称性及其前缀与后缀的关系。

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三、 教学启发与草稿纸推理

1. 启发式提问

• 教练问：要算一个长度为 $i$ 的前缀的阶数，前提是什么？
• 学生答：前提是这个前缀必须是回文串。
• 教练问：如果 $S[1 \dots i]$ 是回文串，它的阶数取决于谁？
• 学生答：取决于它长度为 $i/2$ 的前缀的阶数。这看起来像是一个递推式：$f[i] = f[i/2] + 1$。
• 教练问：关键问题来了，如何在 $O(n)$ 总时间内判断所有前缀是否为回文？

2. 草稿纸上的图形化模拟

假设字符串为 $S$。我们要判断 $S[1 \dots i]$ 是否为回文，即判断： 前缀 $S[1 \dots i]$ == 翻转后的前缀 $S[i \dots 1]$。

请在草稿纸上画出两个哈希轨迹：

1. 正向哈希 (Forward Hash)：从左往右计算，$H_{for} = H_{for} \times P + S[i]$。
2. 反向哈希 (Backward Hash)：由于我们要动态判断每个前缀，反向哈希可以这样维护：$H_{back} = H_{back} + S[i] \times P^{i-1}$。

当 $H_{for} == H_{back}$ 时，我们初步判定 $S[1 \dots i]$ 是回文串。

3. 递推逻辑 (DP)

定义 $f[i]$ 为前缀 $S[1 \dots i]$ 的阶数：

• 如果 $is\_palindrome(1, i)$：$f[i] = f[i \gg 1] + 1$
• 否则：$f[i] = 0$
• 答案：$\sum f[i]$

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四、 复杂度分析与建议

• 时间复杂度：$O(L)$。计算哈希和 DP 递推均为线性时间。对于 $5 \times 10^6$ 的数据，建议使用 unsigned long long 自然溢出哈希，并使用 getchar() 或 fread 提速读取。
• 空间复杂度：$O(L)$。只需要一个数组存储 DP 状态。注意字符串长度很大，不要使用 std::string 的频繁拷贝。
• 优化建议：哈希可能存在碰撞。在 NOI 竞赛中，如果怕被卡，可以使用双哈希。但由于本题时限较紧（2s 处理 $5 \times 10^6$），单哈希通常能过。

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五、 算法流程图 (Mermaid 语法)

graph TD
    Start("开始") --> ReadS("读取字符串 S, 长度为 L")
    ReadS --> Init("初始化 Base=131, H_f=0, H_b=0, P_pow=1, Total=0")
    Init --> Loop("循环 i 从 1 到 L")
    
    Loop --> HashCalc("计算前缀 S[1..i] 的正向哈希 H_f 和反向哈希 H_b")
    HashCalc --> IsPalin{"H_f == H_b ?"}
    
    IsPalin -- "是" --> UpdateDeg("deg[i] = deg[i >> 1] + 1")
    IsPalin -- "否" --> ZeroDeg("deg[i] = 0")
    
    UpdateDeg --> AddTotal("Total += deg[i]")
    ZeroDeg --> AddTotal
    
    AddTotal --> Next("i++")
    Next --> LoopCheck{"i <= L ?"}
    LoopCheck -- "是" --> Loop
    LoopCheck -- "否" --> Print("输出 Total")
    Print --> End("结束")

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六、 读题关键点总结

在处理这类题目时，关键词决定了你的算法选型：

1. “所有前缀” (All prefixes)：暗示我们需要一个线性扫描的过程，并实时维护前缀信息。
2. “$\lfloor n/2 \rfloor$ 的前缀” (Prefix of length n/2)：这是经典的 DP 转移标志，说明当前状态可以从之前计算过的状态转移而来。
3. “回文” (Palindrome)：
   • 长度较小时考虑中心扩展。
   • 求所有回文子串考虑 Manacher 算法。
   • 快速判断前缀回文考虑哈希 (Hashing)。
4. $5 \times 10^6$ (Data Scale)：看到这个量级，脑中必须闪过 $O(n)$。任何涉及 $O(n \log n)$ 且常数较大的算法（如某些复杂的后缀数组实现）都存在风险。

在 NOI 竞赛中，这种“前缀的阶数取决于它一半长度的前缀”是典型的线性 DP 转移。

易错提醒：

1. 溢出问题：虽然 abacaba 的答案只有 6，但对于 $5 \times 10^6$ 长度的全 a 字符串，答案会非常大（约为 $5 \times 10^6 \times 22 \approx 1.1 \times 10^8$），虽然在 int 范围内，但为了稳妥，NOI 选手通常会使用 long long 来存储 Total。
2. 哈希安全性：由于 $5 \times 10^6$ 的数据量非常大，单哈希（如自然溢出）发生碰撞的概率虽然低，但在针对性构造下风险依然存在。双哈希是金牌选手的最后一道保险。

教练点评：这道题是哈希和 DP 的完美结合。在 NOI 中，哈希是解决回文问题的利器，尤其是当你需要判断“特定位置”是否回文时。记住，哈希虽有概率冲突，但在如此大的数据量面前，它是平衡效率与开发难度的最佳选择。加油！