NOI的C++14标准允许直接调用__gcd库吗？

在 C++14 标准下，关于 __gcd 的情况如下：

结论：

__gcd 并不是 C++14 的标准函数，但它在 NOIP/CSP/GESP 等竞赛常用的 GCC 编译器（g++）中可以使用。

以下是详细说明：

1. 它的来源

• 非标准：__gcd 是 GNU C++ 标准库（libstdc++）的一个私有扩展函数（这就是为什么它前面有两个下划线）。它不属于 C++14 的官方 ISO 标准。
• 头文件：在 GCC/MinGW 编译器中，它位于 <algorithm> 头文件中。

2. 在竞赛中的可用性

• NOIP/CSP/GESP/OI：这些比赛通常使用 GCC (g++) 编译器。因此，在比赛中是可以直接使用 __gcd(a, b) 的，只要引用了 <algorithm> 头文件即可。
• 风险：如果你换用了其他编译器（比如微软的 MSVC），或者将来比赛环境严格限制非标准扩展，这个函数就会报错。

3. C++ 标准库的正式支持

• C++17：从 C++17 开始，官方终于加入了标准的 GCD 函数，叫做 std::gcd。
  • 头文件：<numeric>
  • 用法：std::gcd(a, b)
• C++14：官方标准库里没有 GCD 函数。

4. 建议方案（如何在 C++14 中稳健地求最大公约数）

为了代码的可移植性和符合 C++14 标准（也为了防止评测环境差异），建议选手在 C++14 环境下手写一个 gcd 函数。它非常短，只需一行代码。

推荐的手写写法（欧几里得算法）：

// C++14 标准写法，不依赖特定编译器
int gcd(int a, int b) {
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}

总结对比表：

对于 GESP 考级或 CSP 比赛： 如果你嫌麻烦，且确定编译器是 g++，用 __gcd 没问题；但为了养成好习惯，建议花 5 秒钟手写一个 gcd 函数。

      d = my_gcd(d, diff);//自己用辗转相除法手写方法
      d=__gcd(d,diff);//使用algorithm库内置的方法

一、 思路提示

1. 有序化：
   • 等差数列的定义是基于“顺序”的。给出的数组是乱序的，第一步必须排序（Sort），设排序后的数组为 $A$。
2. 寻找公差 $d$：
   • 排序后，我们计算相邻两项的差值：$\Delta_1 = A_2 - A_1$，$\Delta_2 = A_3 - A_2, \dots$。
   • 原本的公差 $d$ 必须是所有 $\Delta_i$ 的公约数。
   • 题目要求“项数最少” $\rightarrow$ 这意味着公差 $d$ 要尽可能大（步子迈得越大，走完同样距离所需的步数越少）。
   • 所以，目标公差 $d$ 就是所有相邻差值的最大公约数（Greatest Common Divisor, GCD）。
3. 特殊情况：
   • 如果所有数字都一样（比如 5 5 5），差值全为 0。GCD(0, 0) 通常无定义或为 0。在这种情况下，公差 $d=0$，项数就是 $N$。
4. 公式计算：
   • 求出 $d$ 后，项数 $= \frac{A_N - A_1}{d} + 1$。

二、 预备知识点总结

1. 排序：std::sort，复杂度 $O(N \log N)$。
2. 最大公约数 (GCD)：
   • 欧几里得算法（辗转相除法）：gcd(a, b) = gcd(b, a % b)。
   • 多个数的 GCD：gcd(a, b, c) = gcd(a, gcd(b, c))。
   • C++14/17 标准库内置 std::__gcd 或 <numeric> 中的 std::gcd。
3. 数学逻辑：等差数列通项公式的逆运算。

三、 启发式教学：草稿纸上的推理过程

教练：“同学们，假设你在地上捡到了一把断掉的尺子，上面只剩下几个刻度：30, 45, 60。请问这把尺子原本最小的刻度单位是多少？”

1. 排序：已经是有序的了：30, 45, 60。
2. 看间距：
   • 30 到 45，距离 15。
   • 45 到 60，距离 15。
   • “看来刻度单位是 15？这把尺子可能是 30, 45, 60。”

教练：“那如果捡到的刻度是 3, 9, 15, 23 呢？哦，23不是等差的，换一个：2, 6, 12。”

1. 排序：2, 6, 12。
2. 看间距：
   • 2 到 6，距离 4。
   • 6 到 12，距离 6。
   • “刻度单位可以是 4 吗？”
   • “不行，如果是 4，6 后面应该是 10，然后 14。得不到 12。”
   • “刻度单位可以是 6 吗？”
   • “不行，如果是 6，2 后面应该是 8。得不到 6。”
   • “那这个单位（公差）必须既能走完 4，又能走完 6。”
   • 结论：公差必须是 4 和 6 的公约数。要项数最少 $\rightarrow$ 最大公约数 GCD(4, 6) = 2。
3. 验证：
   • 以 2 为单位：2, 4, 6, 8, 10, 12。
   • 包含题目给的 2, 6, 12。没问题。
   • 项数 = $(12 - 2) / 2 + 1 = 6$。

教练：“所以，我们的算法就是：先排序，求所有相邻差值，算出它们的最大公约数，最后套公式。”

四、 读题关键词总结

1. “等差数列” $\rightarrow$ 核心模型。
2. “项数最少” $\rightarrow$ 意味着公差 $d$ 最大 $\rightarrow$ 求 GCD。
3. “输入乱序” $\rightarrow$ 必须 Sort。
4. “正整数” / $10^9$ $\rightarrow$ 使用 int 足够（差值最大 $10^9$），但计算结果可能稍大（虽然本题项数不会超过 $10^9$，但在中间计算时注意溢出风险，不过本题不用担心乘法）。

五、 标准题解代码 (C++14)

/**
 * 题目：残缺的等差数列 (The Broken Arithmetic Sequence)
 * 算法：排序 + 最大公约数 (Sorting + GCD)
 * 难度：GESP 5级 / CSP-J T2
 */

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <numeric> // C++17 包含 std::gcd，但在竞赛中常手写或用 __gcd

using namespace std;

// 手写 GCD 函数 (辗转相除法)
int my_gcd(int a, int b) {
    while (b != 0) {
        int temp = a % b;
        a = b;
        b = temp;
    }
    return a;
}

int main() {
    // 1. I/O 加速
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);

    int N;
    if (!(cin >> N)) return 0;

    vector<int> A(N);
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        cin >> A[i];
    }

    // 2. 排序
    sort(A.begin(), A.end());

    // 3. 特判：如果所有数都相同 (首项 == 末项)
    if (A[0] == A[N - 1]) {
        cout << N << endl;
        return 0;
    }

    // 4. 计算所有相邻差值的 GCD
    // 先计算第一个差值作为初始 d
    int d = A[1] - A[0];
    
    for (int i = 2; i < N; ++i) {
        int diff = A[i] - A[i - 1];
        d = my_gcd(d, diff);
    }

    // 5. 计算项数
    // 如果 d 变成了 0 (理论上前面特判了不会发生，但在逻辑上要严谨)
    if (d == 0) {
        cout << N << endl;
    } else {
        // 公式：(末项 - 首项) / 公差 + 1
        int count = (A[N - 1] - A[0]) / d + 1;
        cout << count << endl;
    }

    return 0;
}

时间与空间复杂度分析

• 时间复杂度：
  • 排序：$O(N \log N)$。
  • 遍历求 GCD：$N$ 次 GCD 操作。每次 GCD 是 $O(\log(\text{Value}))$。总计 $O(N \log V)$。
  • 总时间：$O(N \log N)$。
• 空间复杂度：
  • 存储数组：$O(N)$。

六、 数据生成器 (Generator.cpp)

/**
 * 题目：残缺的等差数列
 * 数据生成器
 */

#include <iostream>
#include <fstream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <random>
#include <ctime>
#include <set>

using namespace std;

mt19937 rng(time(0));

// 手写 GCD
int gcd(int a, int b) {
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}

// 核心解法
int solve(int N, vector<int> A) {
    sort(A.begin(), A.end());
    if (A[0] == A[N - 1]) return N;
    int d = A[1] - A[0];
    for(size_t i=2; i<A.size(); ++i) d = gcd(d, A[i]-A[i-1]);
    if (d == 0) return N;
    return (A[N-1] - A[0]) / d + 1;
}

// 随机生成器
int rand_int(int min_v, int max_v) {
    uniform_int_distribution<int> dist(min_v, max_v);
    return dist(rng);
}

void make_case(int id) {
    int N;
    vector<int> A;

    switch(id) {
        case 1: // 样例
            N = 5; A = {2, 6, 4, 10, 20};
            break;
        case 2: // 已经是一个完整的等差数列
            N = 10; 
            for(int i=0; i<N; ++i) A.push_back(1 + i*3);
            break;
        case 3: // 所有数相同
            N = 20; 
            for(int i=0; i<N; ++i) A.push_back(100);
            break;
        case 4: // 两个数 (互质差)
            N = 2;
            A = {10, 13}; // d=3
            break;
        case 5: // 两个数 (大公约数)
            N = 2;
            A = {10, 100}; // d=90
            break;
        case 6: // 随机小数据，公差为 1
            N = 100;
            {
                set<int> s;
                while(s.size() < N) s.insert(rand_int(1, 500));
                A.assign(s.begin(), s.end());
            }
            break;
        case 7: // 随机中数据，公差随机
            N = 1000;
            {
                int start = rand_int(1, 1000);
                int d = rand_int(2, 100);
                set<int> s;
                // 从一个大数列中随机挖取
                vector<int> full;
                for(int i=0; i<10000; ++i) full.push_back(start + i*d);
                shuffle(full.begin(), full.end(), rng);
                for(int i=0; i<N; ++i) A.push_back(full[i]);
            }
            break;
        case 8: // 差值互质，导致 d=1
            N = 5;
            // 2, 5 (diff 3), 7 (diff 2) -> gcd(3,2)=1
            A = {2, 5, 7, 100, 200}; 
            break;
        case 9: // 大数据，数值大
            N = 100000;
            {
                int start = rand_int(1, 1000);
                int d = rand_int(100, 1000);
                // 构造
                A.push_back(start);
                for(int i=1; i<N; ++i) {
                    // 随机跳跃步数
                    int jump = rand_int(1, 10);
                    A.push_back(A.back() + jump * d);
                }
                // 打乱
                shuffle(A.begin(), A.end(), rng);
            }
            break;
        case 10: // 大数据，稀疏
            N = 100000;
            A.push_back(0);
            A.push_back(1000000000); // 差 10^9
            for(int i=0; i<N-2; ++i) A.push_back(rand_int(1, 999999999));
            // 这种情况下 gcd 很大概率是 1
            break;
    }

    // 写入 .in
    string in_file = to_string(id) + ".in";
    ofstream fout_in(in_file);
    fout_in << N << "\n";
    // 随机打乱输入顺序 (题目说可能是乱序)
    shuffle(A.begin(), A.end(), rng);
    for(int i=0; i<N; ++i) fout_in << A[i] << (i==N-1?"":" ");
    fout_in << "\n";
    fout_in.close();

    // 写入 .out
    string out_file = to_string(id) + ".out";
    ofstream fout_out(out_file);
    fout_out << solve(N, A) << "\n";
    fout_out.close();

    cout << "Generated Case " << id << endl;
}

int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    for(int i=1; i<=10; ++i) make_case(i);
    return 0;
}

这道题目将**初中代数（等差数列）与数论算法（GCD）**完美结合。虽然代码量不大，但逻辑性强，要求学生理解“差分的公约数即为原公差”这一数学本质，非常适合 GESP 5 级的考察目标。