为了方便你创建 OJ（Online Judge）测试数据，我编写了这个 C++ 数据生成器。它包含了标准 Bellman-Ford 算法作为标程（用于生成 .out 文件）以及针对性构造逻辑（用于生成 .in 文件）。

数据生成器设计逻辑

1. Case 1-3：题目官方样例，确保基础逻辑正确。
2. Case 4：最小边界测试（$N=2$）。
3. Case 5 (长链图)：构造一条长度为 50 的链，但 $K$ 设置为 10，测试程序是否能正确输出 -1（不可达）。
4. Case 6 (稠密图)：$N=100$ 的完全图，测试算法在边数较多时的稳定性。
5. Case 7 (价格路径权衡)：构造一条直达航线（贵）和一条中转多次航线（便宜），通过调整 $K$ 测试决策逻辑。
6. Case 8-10：大规模随机图，包含各种 $K$ 值，确保没有漏掉的连通分支。

数据生成器 C++ 代码

#include <iostream>
#include <fstream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <string>
#include <random>
#include <ctime>
#include <algorithm>
#include <set>

using namespace std;

// 使用 0x3f3f3f3f 作为无穷大，防止加法溢出 (约 10^9)
const int INF = 0x3f3f3f3f;

struct Edge {
    int u, v, w;
};

// --- 标准 Bellman-Ford 算法用于生成 .out 文件 ---
// 使用 const 引用解决编译错误
int solve_std(int n, int k, const vector<Edge>& edges, int src, int dst) {
    vector<int> dist(n, INF);
    dist[src] = 0;

    // 最多中转 k 次，即最多走 k+1 条边，进行 k+1 轮松弛
    for (int i = 0; i <= k; i++) {
        vector<int> last = dist; // 必须使用上一轮的副本，防止超前松弛
        for (const auto& e : edges) {
            if (last[e.u] != INF) {
                if (last[e.u] + e.w < dist[e.v]) {
                    dist[e.v] = last[e.u] + e.w;
                }
            }
        }
    }
    return (dist[dst] >= INF ? -1 : dist[dst]);
}

// --- 数据写入函数 ---
// 将 vector<Edge>& 改为 const vector<Edge>&
void write_case(int id, int n, int k, const vector<Edge>& edges, int src, int dst) {
    string in_name = to_string(id) + ".in";
    string out_name = to_string(id) + ".out";

    ofstream fout(in_name);
    fout << n << " " << edges.size() << " " << k << "\n";
    for (const auto& e : edges) {
        fout << e.u << " " << e.v << " " << e.w << "\n";
    }
    fout << src << " " << dst << endl;
    fout.close();

    ofstream fans(out_name);
    fans << solve_std(n, k, edges, src, dst) << endl;
    fans.close();
    cout << "Generated Case " << id << " (N=" << n << ", M=" << edges.size() << ")" << endl;
}

int main() {
    mt19937 rng(time(0));
    auto get_rand = [&](int l, int r) { 
        return uniform_int_distribution<int>(l, r)(rng); 
    };

    // Case 1: 样例 1
    write_case(1, 4, 1, {{0,1,100}, {1,2,100}, {2,0,100}, {1,3,600}, {2,3,200}}, 0, 3);

    // Case 2: 样例 2
    write_case(2, 3, 1, {{0,1,100}, {1,2,100}, {0,2,500}}, 0, 2);

    // Case 3: 样例 3
    write_case(3, 3, 0, {{0,1,100}, {1,2,100}, {0,2,500}}, 0, 2);

    // Case 4: 最小边界 N=2
    write_case(4, 2, 0, {{0, 1, 1000}}, 0, 1);

    // Case 5: 长链图不可达 (K太小)
    {
        vector<Edge> e;
        for (int i = 0; i < 49; i++) e.push_back({i, i + 1, 10});
        write_case(5, 50, 5, e, 0, 49);
    }

    // Case 6: 稠密图随机 (N=100)
    {
        int n = 100;
        vector<Edge> e;
        set<pair<int, int>> seen;
        for (int i = 0; i < 2000; i++) {
            int u = get_rand(0, n - 1), v = get_rand(0, n - 1);
            if (u != v && !seen.count({u, v})) {
                e.push_back({u, v, get_rand(1, 1000)});
                seen.insert({u, v});
            }
        }
        write_case(6, n, 50, e, 0, 99);
    }

    // Case 7: 价格与步数的博弈 (构造性数据)
    {
        vector<Edge> e;
        e.push_back({0, 99, 10000}); // 直达：贵
        e.push_back({0, 1, 1000});   // 1站转：中
        e.push_back({1, 99, 1000});
        for (int i = 1; i < 98; i++) e.push_back({i, i + 1, 1}); // 多站转：便宜
        e.push_back({98, 99, 1});
        write_case(7, 100, 1, e, 0, 99); 
    }

    // Case 8 & 9: 随机生成大图
    for (int id = 8; id <= 9; id++) {
        int n = 100;
        vector<Edge> e;
        set<pair<int, int>> seen;
        int m_target = get_rand(500, 1500);
        for (int i = 0; i < m_target; i++) {
            int u = get_rand(0, n - 1), v = get_rand(0, n - 1);
            if (u != v && !seen.count({u, v})) {
                e.push_back({u, v, get_rand(1, 5000)});
                seen.insert({u, v});
            }
        }
        write_case(id, n, get_rand(0, 30), e, get_rand(0, 40), get_rand(60, 99));
    }

    // Case 10: 极限数据 (无解测试)
    {
        int n = 100;
        vector<Edge> e;
        // 构造两个互不连通的子图
        for (int i = 0; i < 40; i++) e.push_back({i, (i + 1) % 40, 5});
        for (int i = 50; i < 90; i++) e.push_back({i, (i + 1) % 40 + 50, 5});
        write_case(10, n, 99, e, 0, 99);
    }

    return 0;
}

数据生成器设计要点说明：

1. 文件大小优化：
   • $N \le 100$ 且 $M \le 4950$。即使在最大规模下，每个 .in 文件的大小约为 50KB。10 个测试点总大小约 0.5MB，远低于 2MB 限制，加载极快。
2. 避免超前松弛：
   • 在 solve_std 中使用了 vector<int> last = dist;。这是 Bellman-Ford 处理限步最短路的关键。如果直接更新 dist，会在一轮迭代内走多步，导致 .out 答案错误。
3. 无重边与自环逻辑：
   • 通过 std::set<pair<int, int>> seen 保证随机生成的边不重复，且 u != v 排除自环。
4. 异常处理：
   • 使用了 mt19937 随机引擎代替 rand()，保证了跨平台的数据一致性和随机质量。
   • 航班价格从 $1$ 开始，避免了 $0$ 权边可能导致的某些算法逻辑歧义。
5. NOI 风格输入输出：
   • 输入格式修正为：n m k 紧跟 $m$ 条边数据，最后是 src dst。这是典型的图论题目输入习惯。

使用方法：

1. 将上述代码保存为 gen.cpp。
2. 使用 g++ -O3 gen.cpp -o gen 编译并运行。
3. 它会自动生成 1.in, 1.out, ..., 10.in, 10.out。
4. 将这些文件直接上传到你的 OJ 系统即可。

在 NOI 竞赛中，处理“带步数限制的最短路”有多种建模方式。从最直观的搜索，到经典的动态规划（Bellman-Ford），再到堆优化的状态空间搜索，体现了算法思维的不断进阶。

版本一：深度优先搜索 (DFS) —— 暴力与剪枝

思路： 递归地探索从 src 开始的所有路径。记录当前花费和已走步数。 关键剪枝： 如果当前花费已经超过了目前找到的最小花费，或者步数已经超过 $K+1$，则停止搜索。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m, k, src, dst;
struct Edge { int to, price; };
vector<Edge> adj[105];
int min_price = INF;

// curr: 当前城市, steps: 已走边数, cost: 当前花费
void dfs(int curr, int steps, int cost) {
    // 剪枝：当前花费已超过已知最优解，或者步数超过限制
    if (cost >= min_price) return;
    if (steps > k + 1) return;
    
    // 到达终点
    if (curr == dst) {
        min_price = cost;
        return;
    }
    
    // 限制步数后，不能继续递归
    if (steps == k + 1) return;

    for (auto &e : adj[curr]) {
        dfs(e.to, steps + 1, cost + e.price);
    }
}

int main() {
    if (!(cin >> n >> m >> k)) return 0;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        adj[u].push_back({v, w});
    }
    cin >> src >> dst;

    dfs(src, 0, 0);

    if (min_price == INF) cout << -1 << endl;
    else cout << min_price << endl;

    return 0;
}

• 时间复杂度：$O(N^K)$，指数级。在稠密图中会非常慢。
• 空间复杂度：$O(K)$，递归栈深度。

版本二：Bellman-Ford 算法 (迭代 DP) —— 标准正解

思路分析： Bellman-Ford 的本质是进行 $t$ 轮松弛，每轮松弛代表路径增加一条边。 易错点： 在第 $t$ 次松弛时，必须基于第 $t-1$ 次的快照进行。如果直接在原数组更新，会导致在一轮迭代中连续松弛多条边，从而违反了“中转 $K$ 次”的限制。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int INF = 0x3f3f3f3f;

struct Edge {
    int u, v, w;
};

int main() {
    int n, m, k, src, dst;
    if (!(cin >> n >> m >> k)) return 0;

    vector<Edge> edges;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        edges.push_back({u, v, w});
    }
    cin >> src >> dst;

    // dist[i] 表示到达 i 点的最少花费
    vector<int> dist(n, INF);
    dist[src] = 0;

    // 最多中转 k 次，即最多走 k+1 条边，进行 k+1 轮松弛
    for (int i = 0; i <= k; i++) {
        // 关键：必须拷贝一份上一轮的结果，防止在本轮中产生链式更新（步数作弊）
        vector<int> last = dist;
        for (auto &e : edges) {
            if (last[e.u] != INF) {
                dist[e.v] = min(dist[e.v], last[e.u] + e.w);
            }
        }
    }

    if (dist[dst] == INF) cout << -1 << endl;
    else cout << dist[dst] << endl;

    return 0;
}

• 时间复杂度：$O(K \cdot M)$。
• 空间复杂度：$O(N)$。

版本三：堆优化 Dijkstra (分层图思想) —— 最优扩展

思路分析： 传统的 Dijkstra 状态是 (u)，这里需要扩展为 (u, steps)。我们可以理解为有 $K+1$ 层图，层与层之间通过航班连接。 优化： 在堆中，我们按价格排序。如果到达某个点时，价格比之前更贵且步数也更多，这个状态就可以舍弃。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <cstring>

using namespace std;

const int INF = 0x3f3f3f3f;

struct Node {
    int u, cost, steps;
    // 小根堆，按价格排序
    bool operator>(const Node& other) const {
        return cost > other.cost;
    }
};

struct Edge { int to, price; };

int main() {
    int n, m, k, src, dst;
    if (!(cin >> n >> m >> k)) return 0;

    vector<Edge> adj[105];
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        adj[u].push_back({v, w});
    }
    cin >> src >> dst;

    // best_steps[i] 记录到达 i 点时，在花费最小的前提下，最少的步数
    // 或者简单使用 dist[u][steps] 数组
    priority_queue<Node, vector<Node>, greater<Node>> pq;
    pq.push({src, 0, 0});
    
    // 记录到达节点 u 且步数为 s 时的最小花费
    int dist[105][105];
    memset(dist, 0x3f, sizeof(dist));

    while (!pq.empty()) {
        Node curr = pq.top();
        pq.pop();

        if (curr.u == dst) {
            cout << curr.cost << endl;
            return 0;
        }

        // 如果步数已达到限制，不能再飞了
        if (curr.steps > k) continue;

        for (auto &e : adj[curr.u]) {
            if (curr.cost + e.price < dist[e.to][curr.steps + 1]) {
                dist[e.to][curr.steps + 1] = curr.cost + e.price;
                pq.push({e.to, dist[e.to][curr.steps + 1], curr.steps + 1});
            }
        }
    }

    cout << -1 << endl;
    return 0;
}

• 时间复杂度：$O(M \log N \cdot K)$（状态数增加到 $N \times K$）。
• 空间复杂度：$O(N \cdot K)$。

复杂度分析思考过程

1. 为什么不直接用普通 Dijkstra？ 普通 Dijkstra 找到的是全局最短路径（可能经过 10 站）。当你因为步数限制舍弃了这条路时，你可能已经把一条虽然贵一点但步数少（比如 1 站）的路径给“丢弃”了（标记为 visited）。所以必须在状态里加上步数。

2. Bellman-Ford 的天然优势： Bellman-Ford 的第 $i$ 次循环结果就是“经过不超过 $i$ 条边的最短路”。这与题目要求的“最多 $k$ 站中转（即 $k+1$ 条边）”完全契合。

时间复杂度优化建议

• 剪枝：在 Bellman-Ford 循环中，如果一轮松弛下来 dist 数组没有变化，说明已经找到所有可能的最优解，可以 break。
• SPFA 变体：虽然 SPFA 在 NOI 容易被卡，但在带步数限制的题目中，将步数作为状态层，SPFA 的效率往往很高。

读题关键词总结

• “最多中转 k 站”：核心限制，意味着路径边数 $\le k+1$。
• “最便宜”：权值最小化。
• “不存在输出 -1”：边界处理，初始化时使用一个安全的较大值（INF）。
• $N=100$：数据规模较小，说明 $O(N^3)$ 或 $O(K \cdot M)$ 的算法是绝对安全的。