我将原本关于“Unordered HashMap实现原理”的讲解内容，改写为了一道标准的NOI风格题目，并配以金牌教练视角的解题思路引导。

---

题目名称：手写hashmap实现原理

题目描述

在信息学奥赛中，标准库（STL）的 std::unordered_map 虽然方便，但在某些极端数据下可能会因为哈希冲突导致性能退化，或者因为常数过大而超时。为了掌控一切，我们需要能够手写一个高效的哈希表。

请你设计并实现一个哈希表（Hash Map），该数据结构需要支持以下三种操作，且要求能够处理哈希冲突（推荐使用拉链法/链地址法）以及动态扩容（Rehash）：

1. put(key, value): 向哈希表中插入一个键值对 $(key, value)$。如果 $key$ 已经存在，则更新其对应的 $value$。
2. get(key): 查询 $key$ 对应的 $value$。如果 $key$ 不存在，则返回 -1。
3. remove(key): 如果存在该 $key$，则将其从哈希表中移除。

为了保证效率，当哈希表中的元素数量超过当前容量的 $0.75$ 倍（负载因子 Load Factor）时，你需要将哈希表的容量扩大为原来的 $2$ 倍，并将所有现有元素重新哈希（Rehash）到新的表中。初始容量设为 $769$（或者一个较小的素数/2的幂次，本题约定初始为 16 以方便测试扩容逻辑，实际比赛建议使用大素数）。

输入格式

第一行包含一个正整数 $N$，表示操作的总次数。 接下来的 $N$ 行，每行包含一个操作指令，格式如下：

• put x y: 表示插入或更新键 $x$ (整数) 和值 $y$ (整数)。
• get x: 表示查询键 $x$。
• remove x: 表示删除键 $x$。

输出格式

对于每一个 get 操作，输出一行一个整数，表示查询结果。 put 和 remove 操作不产生输出。

样例数据

Sample Input

8
put 1 1
put 2 2
get 1
get 3
put 2 100
get 2
remove 2
get 2

Sample Output

1
-1
100
-1

数据范围与提示

• $1 \leq N \leq 10^5$
• $0 \leq key, value \leq 10^9$
• 保证操作合法，输入均为整数。
• 提示：本题旨在考察对哈希表底层原理的理解，包括哈希函数的选取、冲突解决（链表法）以及扩容机制。

---

👨‍🏫 金牌教练的思路提示

你好！作为你的教练，我很高兴看到你开始挑战底层数据结构的实现。这道题看似只是在造 STL 的轮子，但它是理解“时空权衡”和“均摊复杂度”的绝佳练习。

1. 预备知识点总结

在动手写代码前，请确认你已经掌握了以下工具：

1. 数组（Array）：作为哈希表的主体（Buckets/Slots），用于提供 $O(1)$ 的索引访问。
2. 链表（Linked List）：用于**拉链法（Chaining）**解决哈希冲突。当两个不同的 key 算出同一个下标时，我们把它们串在同一个下标的链表里。
3. 哈希函数（Hash Function）：核心公式 idx = hash(key) % capacity。特别是处理负数 key 时，要注意取模后的符号修正。
4. 指针与动态内存（C++ Basics）：如果不使用 std::vector 模拟链表，你需要熟练操作 struct Node*，包括 new 和 delete。
5. 均摊分析（Amortized Analysis）：理解为什么扩容虽然是 $O(N)$ 的，但均摊下来单次操作依然是 $O(1)$。

---

2. 启发式推理过程（草稿纸上的演练）

来，拿出草稿纸，我们画图来理解这个过程。

第一步：构建骨架

想象哈希表就是一个大柜子（数组），柜子有很多抽屉（下标）。

• 问题：Key 是 $10^9$，柜子没那么大怎么办？
• 解决：用取模运算。设柜子大小 capacity = 16。
  • Key = 1 $\rightarrow$ 放进 1 % 16 = 1 号抽屉。
  • Key = 17 $\rightarrow$ 放进 17 % 16 = 1 号抽屉。
• 冲突：1 和 17 都要进 1 号抽屉，打架了怎么办？
• 解决：拉链法。1 号抽屉里不直接放东西，而是放一个记事本（链表头指针）。先来的写第一页，后来的写第二页。

第二步：动态扩容（Rehash）—— 难点！

• 场景：如果 $N=10000$，容量一直由 16 不变，那每个抽屉里的链表会变得很长，查找就变成了 $O(N)$，这就退化成了遍历链表。
• 策略：当 元素总数 / 柜子数 > 0.75 时，我们要买个新柜子，大小是原来的 2 倍。
• 操作：
  1. 申请 new_capacity = 32 的新数组。
  2. 注意：不能直接把旧链表搬过去！因为 17 % 16 = 1，但 17 % 32 = 17。
  3. 必须遍历旧表中的每一个节点，重新计算 Hash 值，插入到新表中。
  4. 删除旧表。

---

3. 核心逻辑伪代码（流程图版）

为了让你清晰地看到逻辑分支（特别是边界情况），我用流程图的形式展示核心函数的逻辑。

注意：这里的伪代码遵循 C++14 风格，但逻辑通用。

(1) put(key, value) 操作流程

flowchart TD
    Start((开始 put)) --> CalcHash["计算下标 idx = key % capacity"]
    CalcHash --> Find{"遍历 buckets[idx] 链表\n寻找 key 是否存在?"}
    
    Find -- "找到了 (key 存在)" --> Update["更新该节点的 value = new_value"]
    Update --> End((结束))
    
    Find -- "没找到 (key 不存在)" --> Create["创建新节点 Node(key, value)"]
    Create --> InsertHead["头插法: 新节点->next = buckets[idx]\nbuckets[idx] = 新节点"]
    InsertHead --> IncSize["size++"]
    
    IncSize --> CheckLoad{"检查负载因子\nsize / capacity > 0.75?"}
    CheckLoad -- "是" --> Rehash[["调用 resize() 扩容"]]
    CheckLoad -- "否" --> End
    Rehash --> End

(2) get(key) 操作流程

flowchart TD
    Start((开始 get)) --> CalcHash["计算下标 idx = key % capacity"]
    CalcHash --> VisitHead["获取当前链表头 buckets[idx]"]
    
    VisitHead --> CheckNull{"当前节点是空吗?"}
    CheckNull -- "是 (链表走完了)" --> RetFail["返回 -1"]
    RetFail --> End((结束))
    
    CheckNull -- "否" --> CheckMatch{"当前节点.key == 目标 key?"}
    CheckMatch -- "是" --> RetVal["返回 当前节点.value"]
    RetVal --> End
    
    CheckMatch -- "否" --> Next["当前节点 = 当前节点.next"]
    Next --> CheckNull

(3) remove(key) 操作流程 (考察链表删除)

flowchart TD
    Start((开始 remove)) --> CalcHash["计算下标 idx = key % capacity"]
    CalcHash --> SetPtrs["设置 prev = null, curr = buckets[idx]"]
    
    LoopStart{"curr 不为空?"}
    LoopStart -- "否 (没找到)" --> End((结束))
    LoopStart -- "是" --> CheckMatch{"curr.key == 目标 key?"}
    
    CheckMatch -- "否" --> MoveNext["prev = curr\ncurr = curr.next"]
    MoveNext --> LoopStart
    
    CheckMatch -- "是 (找到删除目标)" --> CheckHead{"prev 是 null 吗?\n(是不是头节点)"}
    
    CheckHead -- "是 (删除头节点)" --> DelHead["buckets[idx] = curr.next"]
    DelHead --> Free["释放 curr 内存\nsize--"]
    
    CheckHead -- "否 (删除中间节点)" --> DelMid["prev.next = curr.next"]
    DelMid --> Free
    
    Free --> End

(4) resize() 扩容辅助函数 (Rehash 原理)

flowchart TD
    Start((开始 resize)) --> CalcNew["old_cap = capacity\nnew_cap = capacity * 2"]
    CalcNew --> Alloc["创建 new_buckets[new_cap]"]
    Alloc --> LoopOld["遍历 old_buckets 的每一个槽位 i"]
    
    LoopOld --> CheckDone{"i < old_cap?"}
    CheckDone -- "否 (遍历完成)" --> Swap["buckets = new_buckets\ncapacity = new_cap\n删除 old_buckets"]
    Swap --> End((结束))
    
    CheckDone -- "是" --> GetList["获取链表 node = old_buckets[i]"]
    
    LoopList{"node 不为空?"}
    LoopList -- "否 (槽位 i 处理完)" --> IncI["i++"]
    IncI --> LoopOld
    
    LoopList -- "是" --> SaveNext["next_node = node.next (保存后续)"]
    SaveNext --> Recalc["计算新下标 new_idx = node.key % new_cap"]
    Recalc --> MoveNode["头插法插入到 new_buckets[new_idx]\nnode.next = new_buckets[new_idx]\nnew_buckets[new_idx] = node"]
    MoveNode --> Advance["node = next_node"]
    Advance --> LoopList

---

4. 复杂度分析与优化建议

时间复杂度

• 平均情况：put, get, remove 均为 $O(1)$。
  • 原因：哈希函数将数据均匀分散，链表长度趋近于常数。
• 最坏情况：$O(N)$。
  • 原因：所有 key 都冲突（哈希攻击），所有数据都在一条链表上。
• 扩容（Rehash）：单次扩容是 $O(N)$，但因为扩容频率随着数据量增加指数级降低，均摊复杂度仍是 $O(1)$。

空间复杂度

• $O(N + M)$，其中 $N$ 是元素个数，$M$ 是数组（Buckets）大小。

金牌优化 Tips (C++14)

1. 取模优化：如果不使用素数做容量，而是使用 $2^k$（如初始 16，扩容变 32），那么 key % capacity 可以优化为位运算 key & (capacity - 1)。这在计算机底层非常快。
2. 避免频繁 new/delete：可以使用静态数组模拟链表（数组模拟邻接表的写法），或者预先分配一大块内存池，这样可以显著减少系统调用的时间开销。
3. 抗哈希攻击：为了防止出题人故意造数据卡你的哈希函数（例如针对模数构造等差数列），可以在哈希函数中引入一个随机种子（Random Seed）或者使用类似 splitmix64 的高强度哈希算法，而不是简单的 x % mod。

---

5. 读题关键词 (Reading Comprehension)

做此类题目时，请第一时间在题面中圈出以下关键词：

• "Unordered" / "Hash"：提示你不需要维持元素的顺序，可以使用哈希表。
• "Conflict" / "Collision"：如果题目没提，你也要默认存在。必须写链表或开放寻址。
• "Memory Limit"：如果内存极小（如 2MB），可能无法使用大量指针的链表法，需考虑开放寻址法（Open Addressing）。
• "Load Factor" / "Resize"：如果题目明确要求了扩容逻辑，必须严格遵守，否则可能会因为数组开得太大爆内存，或者太小导致超时。

好了，拿起你的键盘，试着把上面的流程图转化为 C++ 代码吧！如果能通过样例，恭喜你，你已经掌握了哈希表的灵魂。