你好！我是你的OI竞赛教练。很高兴看到你开始挑战经典的字符串题目。LeetCode5这道题虽然在LeetCode上是中等难度，但在OI体系中，它是区间动态规划（Interval DP）和中心扩展法的入门必修课，甚至通向更高阶的Manacher算法。

下面我将把这道题改写成标准的NOI竞赛题目格式，并带你一步步拆解思路。

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一、 题目描述

题目名称： 最长回文子串 (Longest Palindromic Substring) 输入文件： palindrome.in 输出文件： palindrome.out 时间限制： 1.0 s 空间限制： 256 MB

【题目描述】

给定一个字符串 $S$，请你找出 $S$ 中最长的回文子串。 如果 $S$ 中存在多个长度相同的最长回文子串，输出其中任意一个即可。

定义：

• 子串 (Substring)：字符串中连续的字符序列。
• 回文 (Palindrome)：正着读和反着读都一样的字符串。例如 "aba" 是回文，而 "abc" 不是。

【输入格式】

输入包含一行，为一个字符串 $S$。 $S$ 仅由数字 (0-9) 和英文字母 (a-z, A-Z) 组成。

【输出格式】

输出一行，包含一个字符串，表示 $S$ 的最长回文子串。

【样例 1】

输入：

babad

输出：

bab

说明： "aba" 也是一个有效答案。

【样例 2】

输入：

cbbd

输出：

bb

【数据范围与提示】

对于 $100\%$ 的数据，字符串 $S$ 的长度 $1 \le |S| \le 1000$。

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二、 预备知识点总结

在攻克这道题之前，你需要掌握以下知识点：

1. 字符串基础：了解字符串的下标操作（C++中通常从0开始）。
2. 回文判定：如何用双指针法判断一个字符串是否是回文。
3. 枚举思想：如何遍历所有可能的子串。
4. 动态规划 (DP)：特别是区间DP的基础概念（状态定义与转移）。
5. 中心扩展法：一种利用回文对称性来优化枚举的技巧。

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三、 启发式教学：思路推理与草稿纸推演

同学们，拿出你们的草稿纸，我们不要一上来就写代码，先画图理解。

1. 朴素思路（暴力法）—— 为什么会超时？

• 提问：如果我们要找到最长的回文子串，最笨的办法是什么？
• 学生思考：枚举所有的子串，然后检查它是不是回文。
• 草稿纸推演： 假设字符串是 babad。
  • 子串有 b, ba, bab, baba, babad, a, ab, ...
  • 子串总数是 $O(N^2)$ 级别的。
  • 检查每一个子串是否回文需要 $O(N)$ 的时间。
  • 总复杂度：$O(N^3)$。
• 教练点评：数据范围 $N=1000$， $1000^3 = 10^9$，这在1秒的时限内大概率会超时（通常计算机1秒处理 $10^8$ 次运算）。我们需要优化。

2. 优化视角一：中心扩展法（形象直观）

• 引导：回文串有什么特点？它是对称的。既然是对称的，如果我们知道了“中心”，是不是就可以向两边扩散去寻找边界？
• 画图： 在草稿纸上写下 b a b a d。
  • 假设中心是 b (下标2)，向左看是 a，向右看是 a。一样！继续扩散。
  • 再向左是 b，向右是 d。不一样！停止。
  • 找到了 abc...哦不对，是 aba。
• 难点提示：中心只有字符吗？ 看样例 c b b d。最长回文是 bb。
  • 如果中心只选字符，选第一个 b，左右不匹配；选第二个 b，左右不匹配。
  • 关键点：回文的中心可能是一个字符（长度为奇数），也可能是两个字符之间的空隙（长度为偶数）。
• 算法流程：
  1. 枚举每一个可能的中心（共有 $N$ 个字符中心 + $N-1$ 个空隙中心 = $2N-1$ 个中心）。
  2. 对于每个中心，向两边扩展，直到字符不相等。
  3. 记录最长的长度和起始位置。
• 复杂度分析：
  • 时间：枚举中心 $O(N)$ $\times$ 扩展 $O(N)$ = $O(N^2)$。对于 $N=1000$，$10^6$ 次运算，绰绰有余。
  • 空间：$O(1)$，只需要存几个变量。

3. 优化视角二：动态规划 (DP) —— 经典的区间DP

• 引导：如果不从中心开始，我们用数学归纳法的思想。如果我们知道 bab 是回文，那么 ababa 是不是回文取决于什么？
• 推导：
  • 取决于两头的字符是否相等 (a == a) 且 中间的部分 (bab) 是否已经是回文。
• 状态定义： 令 $dp[i][j]$ 表示子串 $S[i...j]$ 是否为回文串（True/False）。
• 状态转移方程：$$dp[i][j] = (S[i] == S[j]) \land dp[i+1][j-1]$$ 边界条件：
  • 长度为1：$dp[i][i] = \text{True}$
  • 长度为2：$dp[i][i+1] = (S[i] == S[i+1])$
• 填表顺序： 同学们注意！在草稿纸上画一个二维表格。如果我们要算 $dp[0][4]$，我们需要先知道 $dp[1][3]$。 所以，不能简单地双层 for (i=0..n) for (j=0..n)。 必须按子串长度（len）从小到大枚举！ 先算长度为1的，再算长度为2的...
• 复杂度分析：
  • 时间：$O(N^2)$（填满半个表格）。
  • 空间：$O(N^2)$（需要一个二维数组）。

4. 教练建议

对于 $N \le 1000$，中心扩展法在空间上优于DP，且代码更容易写对（不需要考虑DP的遍历顺序）。DP是很好的思维训练，但在这题上略显笨重。

进阶思考（课后作业）：如果 $N \le 10^7$，怎么做？去查阅 Manacher算法 (马拉车算法)，它可以做到 $O(N)$。

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四、 读题关键词 (Reading Comprehension)

做题时圈出这些词，你就赢了一半：

1. “连续子串” (Substring)：不是子序列，必须连续。
2. “最长”：需要维护一个 max_len 变量，并在发现更长时更新 start_index。
3. “任意一个”：不需要纠结输出第一个还是最后一个，遇到一样长的，不更新或者更新都可以。

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五、 参考代码 (NOI风格 C++14)

这里提供中心扩展法的代码，这是考场上性价比最高的写法。

/**
 * Title: Longest Palindromic Substring
 * Language: C++14 (NOI Standard)
 * Time Complexity: O(N^2)
 * Space Complexity: O(1) (excluding input/output storage)
 */

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

// 辅助函数：从中心向两边扩展，返回该中心能构成的最长回文串长度
// left 和 right 是扩展的起始位置
int expandAroundCenter(const string& s, int left, int right) {
    int L = left, R = right;
    // 当没有越界，且两端字符相等时，继续扩展
    while (L >= 0 && R < s.length() && s[L] == s[R]) {
        L--;
        R++;
    }
    // 注意：跳出循环时，s[L] != s[R] 或者越界
    // 回文串的真实范围是 (L + 1) 到 (R - 1)
    // 长度 = (R - 1) - (L + 1) + 1 = R - L - 1
    return R - L - 1;
}

int main() {
    // 优化 I/O 效率，这是OI选手的基本素养
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    string s;
    if (!(cin >> s)) return 0; // 处理空输入等异常情况

    if (s.empty()) {
        cout << "" << endl;
        return 0;
    }

    int start = 0, maxLen = 0;

    for (int i = 0; i < s.length(); ++i) {
        // 情况1：回文中心是一个字符（如 "aba" 中心是 'b'）
        int len1 = expandAroundCenter(s, i, i);
        
        // 情况2：回文中心是两个字符之间（如 "abba" 中心是 "bb" 之间）
        int len2 = expandAroundCenter(s, i, i + 1);
        
        // 取两种情况的较大值
        int len = max(len1, len2);
        
        // 如果找到了更长的回文串，更新起始位置和最大长度
        if (len > maxLen) {
            maxLen = len;
            // 推导起始位置：
            // 若 len 是奇数，中心是 i，start = i - len/2
            // 若 len 是偶数，中心是 i 和 i+1 之间，start = i - (len-1)/2
            // 整数除法特性：(len - 1) / 2 等价于统一公式
            start = i - (len - 1) / 2;
        }
    }

    // 输出最长回文子串
    cout << s.substr(start, maxLen) << endl;

    return 0;
}

六、 课后自我检查

1. 代码中 R - L - 1 是怎么推导出来的？（建议带入 aba 和 abba 算一下边界）
2. 如果不使用 start 和 maxLen 记录，而是每次都截取 substr 比较，会增加多少时间复杂度？（字符串拷贝是 $O(N)$ 的，会导致总复杂度退化为 $O(N^3)$，千万小心）。

祝你切题愉快！