你好！作为金牌教练，我们已经完成了“统计岛屿个数”、“判断封闭岛屿”、“计算飞地像素”的专项训练。今天，我们要挑战岛屿系列的第四个维度：“岛屿的最大面积”。

这道题在逻辑上要求我们在搜索的过程中，不仅要“走到”，还要“带回信息”。这是从单纯的连通性搜索向连通块属性维护的进阶。

一、 题目描述：岛屿的最大面积 (Max Area of Island)

题目背景： 在海洋地理信息系统中，我们需要找出面积最大的岛屿以建立科研基地。

任务描述： 给你一个大小为 $M \times N$ 的二进制矩阵 grid 。

• 岛屿是由一些相邻的 1 (代表土地) 构成的组合，这里的“相邻”要求两个 1 必须在水平或者垂直方向上相邻。
• 你可以假设 grid 的四个边缘都被 0 (代表水) 包围着。
• 岛屿的面积是该岛屿中具有土地条件的单元格数目。
• 请计算并返回 grid 中最大的岛屿面积。如果没有岛屿，则返回面积为 0 。

输入格式： 第一行包含两个整数 $M$ 和 $N$，$1 \le M, N \le 50$。 接下来的 $M$ 行，每行包含 $N$ 个用空格分隔的整数（0 或 1）。

输出格式： 输出一个整数，表示最大的岛屿面积。

样例 1：

输入：

8 13
0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0
0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0
0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0

输出：

6

样例 2：

输入：

1 1
0

输出：

0

二、 预备知识点

1. 深度优先搜索 (DFS) 的返回值： 理解如何通过递归函数返回当前子树/连通块的大小。
2. 全局最优解维护： 在遍历过程中不断更新 max_ans。
3. 隐式图遍历： 依然是网格图的四连通模型。
4. 状态重置 (访问标记)： 确保每个陆地单位只被计算一次。

三、 启发式引导：将思路写在草稿纸上

请在纸上画一个小型的 $3 \times 3$ 陆地块，跟着我的步骤操作：

1. 核心逻辑：带信息的“回声”

• 单纯搜索（前几课）： 只要走到新格子，就把它染成 0。
• 计算面积（本课）：
  • 当你站在格子 $(i, j)$ 时，你问周围四个邻居：“你们那边相连的陆地一共有多少个？”
  • 邻居回答后，你把他们的结果加起来，再加上你自己（1个）。
  • 这就是典型的递归：return 1 + dfs(上) + dfs(下) + dfs(左) + dfs(右);

2. 时间与空间复杂度分析

• 时间复杂度： 每个格子依然只被访问一次。$O(M \times N)$。
• 空间复杂度： 递归深度。$O(M \times N)$。对于 $50 \times 50$ 的规模，完全不需要担心栈溢出。

3. 优化建议

• 原地修改： 访问过的 1 立即改为 0，避免使用 visited 数组增加空间开销。
• 边界提前剪枝： 在调用递归前检查坐标合法性。

四、 算法流程图 (Mermaid 风格)

请注意，在 NOI 风格中，我们通常将 dfs 定义为一个返回 int 的函数：

graph TD
    Start("开始") --> InitAns("初始化 max_area 等于 0")
    InitAns --> LoopI("遍历行 i 从 0 到 M-1")
    LoopI --> LoopJ("遍历列 j 从 0 到 N-1")
    LoopJ --> Check1{"grid_i_j 是 1 吗?"}
    
    Check1 -- "是" --> CallDFS("调用 dfs_function 统计当前岛屿面积")
    CallDFS --> UpdateMax("max_area 等于 max_area 与 current_area 的较大值")
    UpdateMax --> LoopJNext("检查下一个格子")
    
    Check1 -- "否" --> LoopJNext
    
    subgraph DFS_Function
    D1("当前格子标记为 0") --> D2("初始化 count 等于 1")
    D2 --> D3("递归获取上下左右四个方向的面积和")
    D3 --> D4("返回 count 加 累计面积")
    end
    
    LoopJNext --> EndJ{"列遍历结束?"}
    EndJ -- "否" --> LoopJ
    EndJ -- "是" --> EndI{"行遍历结束?"}
    EndI -- "否" --> LoopI
    EndI -- "是" --> Output("输出 max_area")

五、 读题理解关键词

在 NOI 竞赛读题时，如何敏锐捕捉本题与其他岛屿题的区别？

1. “最大” (Max)：
   • 这是一个典型的极值问题。
   • 策略： 需要一个全局变量来记录过程中的最大值，每次 DFS 结束后进行比对。
2. “单元格数目” (Number of units)：
   • 确定了度量标准：面积 = 格子的个数。
   • 策略： DFS 必须有返回值，或者在 DFS 内部累加一个计数器。
3. “水平或垂直” (Horizontal or Vertical)：
   • 再次确认是四连通。如果是八连通，面积计算会完全不同。
4. 数据范围 (50)：
   • 这是一个非常友好的范围。即使你的递归写得不够精炼，或者使用了较多的辅助空间，也很难超时。这意味着你可以更关注代码的准确性。

教练点评： “岛屿的最大面积”是搜索算法中“信息回传”的敲门砖。当你习惯了让递归函数带回一个数字（面积）而不是简单的布尔值（是否连通）时，你就已经半只脚踏进了树形 DP 或者更高级搜索剪枝的大门。加油！