你好！我是你的OI教练。看到这道 GESP 七级的题目《商品交易》，不要被题目中复杂的交易规则吓到了。这道题披着“经济交易”的外衣，其实核心是一个非常经典的图论模型。

我们先像在集训队上课一样，拿出草稿纸，把题目中的“文字游戏”拆解成数学公式，你会发现它意外地简单。

1. 读题关键词：你的“雷达”响了吗？

在读题时，请圈出以下决定解题方向的关键词：

1. “使用第 $x_j$ 种商品交换第 $y_j$ 种商品”：
   • 这表示交易是有方向的：$x_j \to y_j$。
   • 这是一个有向图。
2. “付给商人 $v_{y_j} - v_{x_j}$”：
   • 这是交易的差价成本。
3. “收取 1 元作为手续费”：
   • 这是交易的固定成本。
4. “最少的花费”：
   • 典型的最短路问题。

2. 预备知识点

要解决这道题，你需要掌握：

• 图的存储：邻接表 (vector<int> adj[])。
• 广度优先搜索 (BFS)：用于求解边权为 1 的最短路问题。
• 数学推导 (裂项相消)：这是本题化繁为简的关键（下面会讲）。

3. 启发式教学：草稿纸上的推演（核心！）

题目说每一步的费用是：$(v_{新} - v_{旧}) + 1$。 乍一看，边权不仅和路径长度有关，还和节点的价值有关，好像很复杂。

来，我们在草稿纸上画一条路径试试： 假设我们要从商品 $A$ 换到 $B$，中间经过 $C$。路径：$A \to C \to B$。

1. 第一步 $A \to C$ 的花费：$$Cost_1 = (v_C - v_A) + 1$$
2. 第二步 $C \to B$ 的花费：$$Cost_2 = (v_B - v_C) + 1$$

总花费是多少？

发现了吗？ 中间的 $v_C$ 被消掉了！

推广到任意 $k$ 步的路径： 如果路径长度（交易次数）是 $k$，起点是 $a$，终点是 $b$，那么总花费公式一定是：

教练的结论：

• $(v_b - v_a)$ 是一个定值（因为起点和终点由输入决定，不可改变）。
• 要想总花费最小，唯一的办法就是让 $k$（交易次数）最小。
• 题目转化：在一个有向图中，寻找从 $a$ 到 $b$ 的最短路径（边数最少）。

4. 标准代码 (NOIP C++14)

/**
 * 题目：P10110 [GESP202312 七级] 商品交易
 * 考点：图论建模、数学推导(裂项相消)、BFS最短路
 * 时间复杂度：O(N + M)
 */

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>

using namespace std;

const int MAXN = 100005; // 根据题目 N <= 10^5
const int INF = -1;      // 用 -1 表示未访问

// 存储每个商品的价值
// 注意：虽然题目说 v_i <= 10^9，fit int，但计算结果可能溢出，建议涉及金额用 long long
long long val[MAXN]; 

// 邻接表存图
vector<int> adj[MAXN];

// 记录从起点 a 到各点的最短步数
int dist[MAXN];

int n, m, start_node, end_node;

void solve() {
    // 1. 输入数据
    if (!(cin >> n >> m >> start_node >> end_node)) return;
    
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> val[i];
    }
    
    // 2. 建图
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        // 有向边：u -> v
        adj[u].push_back(v);
    }
    
    // 3. BFS求最短步数 (边权为1的最短路)
    // 初始化距离数组
    for (int i = 0; i < n; i++) dist[i] = INF;
    
    queue<int> q;
    q.push(start_node);
    dist[start_node] = 0;
    
    while (!q.empty()) {
        int curr = q.front();
        q.pop();
        
        // 如果已经找到终点，可以提前退出吗？
        // 对于求特定两点最短路，BFS 第一次遇到终点时即为最短，可以 break
        if (curr == end_node) break;
        
        for (int next : adj[curr]) {
            if (dist[next] == INF) { // 如果未访问过
                dist[next] = dist[curr] + 1;
                q.push(next);
            }
        }
    }
    
    // 4. 输出结果
    if (dist[end_node] == INF) {
        cout << "No solution" << endl;
    } else {
        // 公式：Total Cost = (v_end - v_start) + steps
        long long ans = (val[end_node] - val[start_node]) + dist[end_node];
        cout << ans << endl;
    }
}

int main() {
    // IO优化
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    
    solve();
    
    return 0;
}

5. 易错点与关键点注释

1. 公式推导：
   • 很多同学会试图用 Dijkstra 跑带权图（边权算上价值差），虽然也能做，但容易写错且慢。一定要看透裂项相消的本质。
2. 数据类型：
   • 价值 $v_i$ 是 $10^9$，花费可能是负数。最终答案建议用 long long，防止 $v_b - v_a$ 溢出（虽然 $10^9$ 在 int 范围内，但在 OI 中涉及“钱”、“分数”通常无脑 long long 最稳妥）。
3. 有向图：
   • 题目明确说“用 $x$ 换 $y$”，所以只能 adj[x].push_back(y)，不能存双向。
4. No solution：
   • 图可能是不连通的，必须判断 dist[b] 是否被更新过。

6. 数据生成器 (1.in - 10.in)

这是一个功能完备的数据生成器，覆盖了无解、小数据、大数据、长路径等各种情况。

/**
 * P10110 [GESP202312 七级] 商品交易 - 数据生成器
 * 功能：生成 1.in/1.out ~ 10.in/10.out
 */

#include <iostream>
#include <fstream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <string>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <algorithm>
#include <set>

using namespace std;

// ==========================================
// Part 1: 标准题解逻辑 (用于生成 .out)
// ==========================================
long long solve_bfs(int n, int start_node, int end_node, const vector<long long>& v_vals, const vector<pair<int,int>>& edges) {
    vector<vector<int>> adj(n);
    for(auto& e : edges) {
        adj[e.first].push_back(e.second);
    }
    
    vector<int> dist(n, -1);
    queue<int> q;
    
    q.push(start_node);
    dist[start_node] = 0;
    
    while(!q.empty()){
        int curr = q.front();
        q.pop();
        if(curr == end_node) return (v_vals[end_node] - v_vals[start_node]) + dist[end_node];
        
        for(int next : adj[curr]){
            if(dist[next] == -1){
                dist[next] = dist[curr] + 1;
                q.push(next);
            }
        }
    }
    return -2e18; // 特殊标记：无解
}

// ==========================================
// Part 2: 数据构造逻辑
// ==========================================
int randInt(int min, int max) {
    return rand() % (max - min + 1) + min;
}

void makeData(int id) {
    string inName = to_string(id) + ".in";
    string outName = to_string(id) + ".out";
    ofstream fin(inName);
    ofstream fout(outName);

    int N, M;
    // 梯度设置规模
    if (id <= 3) { N = 10; M = 20; }
    else if (id <= 7) { N = 1000; M = 5000; }
    else { N = 100000; M = 200000; }

    int a = randInt(0, N-1);
    int b = randInt(0, N-1);
    while(a == b) b = randInt(0, N-1); // 保证 a != b

    // 生成价值
    vector<long long> vals(N);
    for(int i=0; i<N; i++) {
        vals[i] = randInt(1, 1000000000); // 价值最大 10^9
    }

    // 生成边
    vector<pair<int,int>> edges;
    set<pair<int,int>> edgeSet;

    // 构造策略
    if (id == 3 || id == 8) {
        // 构造无解情况：不生成任何边，或者只生成不连接 a,b 的边
        // 为了简单，我们生成少量随机边，概率上很难连通大图
        int limit = (id==3)? 5 : 100;
        for(int i=0; i<limit; i++){
            int u = randInt(0, N-1);
            int v = randInt(0, N-1);
            if(u!=v) edges.push_back({u,v});
        }
        // 强制断开 a 的出边
        // (不需要额外操作，随机生成大概率不通，如果不通 solve 会返回无解)
    } else if (id == 4) {
        // 构造一条长链，测试 BFS 深度
        // a -> n1 -> n2 -> ... -> b
        int curr = a;
        vector<int> path;
        path.push_back(a);
        for(int i=0; i<N/2; i++){
            int next = randInt(0, N-1);
            if(next != b && next != curr) path.push_back(next);
        }
        path.push_back(b);
        for(size_t i=0; i<path.size()-1; i++){
            edges.push_back({path[i], path[i+1]});
            edgeSet.insert({path[i], path[i+1]});
        }
        // 补充一些干扰边
        for(int i=0; i<M - (int)path.size(); i++){
            int u = randInt(0, N-1);
            int v = randInt(0, N-1);
            if(u!=v && edgeSet.find({u,v}) == edgeSet.end()){
                edges.push_back({u,v});
                edgeSet.insert({u,v});
            }
        }
    } else {
        // 随机图，保证一定连通性(通过生成树)
        // 这里的连通性不一定保证 a->b，但概率较大
        // 如果 solve 返回无解，就让他无解，这本身也是测试点的一种
        for(int i=0; i<M; i++){
            int u = randInt(0, N-1);
            int v = randInt(0, N-1);
            if(u!=v) edges.push_back({u,v});
        }
        // 为了防止运气不好全无解，在 ID 1,2,5,6,9,10 强制加一条直达或短路
        if (id != 3 && id != 8) {
             edges.push_back({a, b}); // 直达
             int mid = randInt(0, N-1);
             edges.push_back({a, mid});
             edges.push_back({mid, b});
        }
    }

    // 写入 Input
    fin << N << " " << (int)edges.size() << " " << a << " " << b << endl;
    for(int i=0; i<N; i++) fin << vals[i] << (i==N-1?"":" ");
    fin << endl;
    for(auto& e : edges) fin << e.first << " " << e.second << endl;

    // 计算 Output
    long long ans = solve_bfs(N, a, b, vals, edges);
    if(ans == -2e18) fout << "No solution" << endl;
    else fout << ans << endl;

    fin.close();
    fout.close();
    cout << "Generated Case " << id << endl;
}

int main() {
    srand(time(0));
    for(int i=1; i<=10; i++) makeData(i);
    return 0;
}