登录以参加训练计划

这张思维导图展示了一套非常有条理的动态规划（Dynamic Programming, DP）学习路径，特别强调了从一维数组/字符串到图论的递进关系。

这种分类方式（如“左右找子结构”、“中间找子结构”等）是该特定课程（志宏说算法）的教学术语，本质上对应了算法竞赛中经典的DP模型（如线性DP、区间DP、背包问题、状压DP等）。

下面我按照图中的分类，为你整理了对应的 洛谷（Luogu） 经典题目，帮助你按图索骥进行训练。

---

第一部分：一维数组类 / 字符串类 (线性DP与背包)

这部分是DP的基础，主要解决“由前一个状态推导当前状态”的问题。

1. 左右找子结构 & 找1个子数组

核心逻辑：$dp[i]$ 通常只与 $dp[i-1]$ 或前几个状态有关。对应经典的“最大子序和”模型。

• P1115 最大子段和（最经典的“找1个子数组”问题，必做）
• P1002 [NOIP2002 普及组] 过河卒（基础的网格路径计数，线性推导）
• P1216 [USACO1.5][IOI1994] 数字三角形 Number Triangles（经典的自上而下或自下而上推导）

2. 01背包问题 (属于“左右找子结构”的变种)

核心逻辑：选或不选，状态转移依赖于剩余容量。

• P1048 [NOIP2005 普及组] 采药（最标准的01背包模板题）
• P2871 [USACO07DEC] Charm Bracelet S（01背包标准题）
• P1060 [NOIP2006 普及组] 开心的金明（01背包变种）
• P1049 [NOIP2001 普及组] 装箱问题（求最小剩余空间，本质还是01背包）

3. 股票买卖问题

核心逻辑：状态机模型，每一天持有或不持有股票。 (注：洛谷上纯粹的股票题较少，这类题目在 LeetCode 上最全[121, 122, 123, 188等]，但在洛谷可以用类似的线性状态机题目替代)

• P1420 最长连号（虽然简单，但体现了线性扫描的思维）
• P1969 [NOIP2011 提高组] 积木大赛（贪心/线性递推，思想类似）
• 建议去 LeetCode 刷：121. 买卖股票的最佳时机 等系列

4. 中间找子结构 (通常指 LIS 模型)

核心逻辑：$dp[i]$ 需要扫描 $0$ 到 $i-1$ 的所有状态来寻找最优解。最典型的是“最长上升子序列”。

• P1020 [NOIP1999 普及组] 导弹拦截（最长上升/不上升子序列，经典必做）
• P1091 [NOIP2004 提高组] 合唱队形（正向LIS + 反向LIS，经典拼接）
• P1439 【模板】最长公共子序列（虽然名字是LCS，但转化后其实是LIS的$O(nlogn)$解法）

5. 两边找子结构 (区间 DP)

核心逻辑：大区间 $[i, j]$ 的最优解依赖于小区间 $[i+1, j]$、$[i, j-1]$ 或 $[i, k] + [k+1, j]$。即区间动态规划。

• P1880 [NOI1995] 石子合并（区间DP祖师爷级别的题目，环形处理）
• P1063 [NOIP2006 提高组] 能量项链（环形区间DP）
• P3205 [HNOI2010] 合唱队（区间DP，考虑左右端点进队顺序）
• P4170 [CQOI2007] 涂色（经典的区间覆盖染色问题）

6. 两个数组 (LCS / 编辑距离)

核心逻辑：$dp[i][j]$ 表示数组A的前 $i$ 个和数组B的前 $j$ 个匹配的结果。

• P1439 【模板】最长公共子序列（前面提过，如果是 $O(n^2)$ 朴素做法就是这类，虽然该题数据要求更高）
• P2758 编辑距离（经典的两个字符串转换步数）
• P1140 相似基因（带权值的LCS变种）

7. 子集找子结构 (划分子集 / 子集和)

核心逻辑：通常涉及将集合划分为满足条件的子集，或者背包问题的变种。

• P1019 [NOIP2000 提高组] 单词接龙（虽然常搜做，但包含子结构拼接思想）
• P1164 小A点菜（01背包求方案数）
• P2392 kkksc03考前临时抱佛脚（搜索+剪枝，或者看作极小数据的子集划分DP）

---

第二部分：图类 (图论与DP的结合)

这部分对应图中的右侧分支，难度通常高于纯数组类DP。

1. 单源带条件最短路径 (分层图 / DP on Graph)

核心逻辑：在求最短路的基础上增加了“k次免费”、“油量限制”或“状态限制”。

• P4568 [JLOI2011] 飞行路线（分层图最短路，本质是状态机DP思想在图上的应用，k次免费机会）
• P1073 [NOIP2009 提高组] 最优贸易（在图上进行买卖，结合了SPFA/Dijkstra和DP思想）
• P3953 [NOIP2017 提高组] 逛公园（在图上进行DP计数，求k短路相关）
• P1462 通往奥格瑞玛的道路（二分答案 + 最短路 check）

2. 经过所有节点的路径 (状压 DP / TSP 问题)

核心逻辑：数据范围通常 $N \le 20$，需要用二进制位来表示“哪些节点走过，哪些没走过”。

• P1433 吃奶酪（经典的TSP旅行商问题，状压DP）
• P1171 售货员的难题（标准的TSP问题）
• P1896 [SCOI2005] 互不侵犯（状压DP入门，虽然不是路径，但是状态压缩思想一致）
• P2915 [USACO08NOV] Mixed Up Cows G（排列型状压DP）

---

学习建议

1. 按顺序刷：先搞定“一维数组类”，尤其是最大子段和和01背包，这是所有DP的基石。
2. 重模板：图中的分类其实就是模板。比如做“区间DP”时，脑子里要有 for len, for i, for k 的三层循环结构。
3. 看题解：如果卡住了，洛谷的题解区非常丰富，重点看那些解释了 “状态定义”（即 $dp[i]$ 代表什么）和 “状态转移方程” 的题解。

祝你刷题愉快，早日攻克DP算法题！

这里面没有“树上的DP”吗？

你观察得非常仔细！这张思维导图中确实 没有明确列出“树形 DP”（Tree DP） 这一板块。

这张图主要聚焦在线性 DP（数组/字符串）和图论 DP（最短路/状压）上。然而，在算法竞赛（NOIP/CSP/ICPC）以及大厂面试中，树形 DP 是绝对的重点，甚至比复杂的图论 DP 考频更高。

为了补全你的学习拼图，我为你单独整理了树形 DP 的核心逻辑和洛谷经典题目：

---

补全板块：树形 DP (Tree DP)

核心逻辑： 树形 DP 的本质是在 树（或森林） 的数据结构上进行动态规划。 通常的套路是：DFS（深度优先搜索）。

1. 自底向上：先递归处理子节点（子树），算出子节点的状态。
2. 状态合并：将子节点的信息汇总给父节点，从而更新父节点的状态。
3. 状态定义：$dp[u][state]$ 通常表示“以节点 $u$ 为根的子树，处于 $state$ 状态下的最优解”。

---

1. 入门模板：最大独立集 / 染色问题

核心逻辑：当前节点 $u$ 选或不选，会限制子节点 $v$ 的选择。

• $dp[u][0]$：$u$ 不选，子节点 $v$ 可选可不选。

• $dp[u][1]$：$u$ 选，子节点 $v$ 绝不能选。

• P1352 没有上司的舞会（必做，树形DP的“Hello World”，核心是父子不能同时出现）

• P1122 最大子树和（稍微变化，修剪枝叶，求权值最大的连通子块）

• P2016 战略游戏（最小点覆盖，和舞会题逻辑互补）

2. 树上背包 (树形依赖背包)

核心逻辑：在树上做“01背包”或“分组背包”。 通常 $dp[u][k]$ 表示以 $u$ 为根的子树中，选了 $k$ 个节点/体积的最大价值。因为要分配 $k$ 给各个子树，通常需要两层循环（类似卷积），时间复杂度 $O(n^2)$ 或 $O(n^3)$。

• P2014 [CTSC1997] 选课（必做，树上背包的祖师爷，选了子节点必须选父节点）
• P2015 二叉苹果树（保留 $Q$ 根树枝，其实就是保留 $Q+1$ 个节点，标准树上背包）
• P1273 有线电视网（分组背包模型，求不亏本的最大用户数）

3. 树的直径与中心

核心逻辑：在树上找最长路径。 通常维护两个值：向下延伸的最长链和次长链。

• P1351 [NOIP2014 提高组] 联合权值（虽然可以用数学方法，但树形DP思维也可以解）
• P1099 [NOIP2007 提高组] 树网的核（求树的直径及其相关性质）

4. 换根 DP (二次扫描法)

核心逻辑：这是树形DP的进阶。 先假设 1 为根做一次 DFS（自底向上），算出所有节点的子树贡献； 再做第二次 DFS（自顶向下），算出“父亲方向”对当前节点的贡献，从而求出以任意节点为根时的答案。

• P3478 [POI2008] STA-Station（必做，换根DP模板题，求以谁为根深度和最大）
• P2986 [USACO10MAR] Great Cow Gathering G（带权值的换根DP）
• P1364 医院设置（数据范围小可用 Floyd，数据大则必须用换根 DP）

---

总结建议

如果你按照那张图学习，在学完 “一维数组类” 和 “子集找子结构” 之后，建议立刻插入“树形 DP”的学习，然后再去学右边的“图类”。

因为树形 DP 实际上是“子集找子结构”在树这种特殊图上的应用，难度介于线性 DP 和 状压 DP 之间，是承上启下的关键环节。

---

树上DP有哪些洛谷入门题？

你好！很高兴看到你开始攻克树形DP。这是动态规划与图论结合的第一步，也是联赛（NOIP/CSP-S）中非常高频的考点。

树形DP的核心思想其实只有一句话：父亲的状态由子节点的状态转移而来（自底向上）。 代码实现上，通常使用 DFS（后序遍历）。

我为你精选了洛谷上最适合入门的几道题目，并按题型模式进行了分类。请按顺序练习。

---

第一阶段：经典的“选与不选”模型

这是树形DP最基础的模型，状态通常定义为 $dp[u][0]$（不选 $u$）和 $dp[u][1]$（选 $u$）。

1. P1352 [USACO05NOV] 没有上司的舞会

• 难度：🟡 普及/提高-
• 一句话题意：给一棵树，每个点有快乐值。选了某个点，就不能选它的直接父节点。求最大快乐值。
• 教练点评：这是树形DP的“Hello World”，绝对的板子题。
• 核心方程：
  • 选 $u$：子节点 $v$ 必定不能选 $\to dp[u][1] += dp[v][0]$
  • 不选 $u$：子节点 $v$ 可选可不选（取最大）$\to dp[u][0] += \max(dp[v][0], dp[v][1])$

2. P2016 战略游戏

• 难度：🟡 普及/提高-
• 一句话题意：给一棵树，在节点上放士兵，一个士兵可以看守与该节点相连的所有边。求最少放多少士兵能看守所有边。
• 教练点评：这是最小点覆盖问题。跟上一题是对偶关系。
• 思路提示：
  • 选 $u$：子节点 $v$ 选不选都可以，取花费少的。
  • 不选 $u$：为了看守 $(u, v)$ 这条边，子节点 $v$ 必须选。

3. P1122 最大子树和

• 难度：🟡 普及/提高-
• 一句话题意：树上每个点有权值（可能为负），求一个连通子树，使得点权之和最大。
• 教练点评：这题不需要二维数组。思路非常贪心——如果子树贡献是正的就要，负的就扔掉。

---

第二阶段：树上背包（泛化物品背包）

这种题目通常限制选 $M$ 个节点/边，或者有体积限制。其实就是把背包问题搬到了树上：把子树看作是物品组。

4. P2015 二叉苹果树

• 难度：🟢 普及+/提高
• 一句话题意：保留树上 $Q$ 根树枝，使得留下的苹果最多。
• 教练点评：树上背包的入门题。因为是二叉树，所以转移方程比较好写（枚举给左儿子分多少根树枝，右儿子分多少）。
• 状态定义：$dp[u][j]$ 表示以 $u$ 为根的子树中，保留 $j$ 条边能得到的最大值。

5. P2014 [CTSC1997] 选课

• 难度：🟢 普及+/提高
• 一句话题意：选课有先修关系（形成森林），每门课有学分。限制选 $M$ 门课，求最大通常。
• 教练点评：树上背包的必修课。
• 技巧：
  1. 题目给的是森林（多棵树），需要建立一个虚拟根节点 0 把它们连成一棵大树。
  2. 这是多叉树，需要用类似“分组背包”的思路：枚举给当前子节点 $v$ 分配多少体积 $k$。
  3. 时间复杂度是 $O(N \cdot M^2)$ 或优化后的 $O(N \cdot M)$。

---

第三阶段：树的直径与中心（路径相关）

这类题目关注树上最长的路径或特定的节点性质。

6. P1351 [NOIP2014 提高组] 联合权值

• 难度：🟢 普及+/提高
• 一句话题意：求树上距离为 2 的所有点对的权值乘积之和及最大值。
• 教练点评：这题其实可以用简单的遍历解决，但它蕴含了树形DP处理子树信息的思想（维护最大值和次大值）。

7. P1099 [NOIP2007 提高组] 树网的核

• 难度：🔵 提高+/省选-
• 一句话题意：涉及树的直径和偏心距。
• 教练点评：虽然难度标得高，但核心是求树的直径。先学会怎么用两次 DFS 或 树形 DP 求直径，这题是进阶训练。

8. P1272 重建道路

• 难度：🟢 普及+/提高
• 一句话题意：切断最少的边，得到一个节点数为 $P$ 的子树。
• 教练点评：这是一道计数类的树形DP。思考方向：$dp[i][j]$ 表示以 $i$ 为根，保留 $j$ 个节点的最小删边数。

---

教练的刷题建议

1. 先做 P1352，如果你能独立写出这题，就理解了树形DP的 50%。
2. 再做 P2014，这是树上背包的通解模板，学会了这个，P2015 就迎刃而解了。
3. 注意边界：树形DP容易在叶子节点或根节点处写错边界，要在草稿纸上模拟一下叶子节点的返回值。
4. 建图：记得用邻接表（vector<int> G[N] 或 链式前向星）存图，题目通常是无向边，DP时要传入 father 参数防止死循环。

---

解释前面说的LIS 模型

LIS (Longest Increasing Subsequence)，即最长上升子序列。

在之前的思维导图中，它被归类为“中间找子结构”。这是一个非常形象的描述，因为它揭示了 LIS 模型与基础 DP（如最大子段和）的核心区别。

下面我为你拆解这个模型的核心逻辑、为什么叫“中间找”，以及它的代码模板。

---

1. 什么是“子序列”？

首先要区分两个概念，这是新手的易错点：

• 子数组/子串 (Subarray/Substring)：必须是连续的。
  • 例子：[10, 9, 2, 5] 的子数组是 [9, 2]。
• 子序列 (Subsequence)：可以是不连续的，但相对顺序不能变。
  • 例子：[10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18]
  • 它的一个上升子序列是：[2, 5, 7, 101]。
  • 另一个上升子序列是：[2, 3, 7, 18]。

LIS 问题就是： 在一个给定的数组中，找到一个最长的子序列，使得这个子序列中的元素是严格递增的。

---

2. 为什么叫“中间找子结构”？

回顾一下 “左右找子结构”（比如最大子段和）：

• 计算 $dp[i]$ 时，我们通常只需要看 $dp[i-1]$（它左边的紧邻邻居）。

而在 LIS 模型中：

• 为了计算以第 $i$ 个数字结尾的最长子序列长度 $dp[i]$，仅仅看 $dp[i-1]$ 是不够的。
• 你需要回头扫描 $0$ 到 $i-1$ 之间的所有位置 $j$。
• 只要 $nums[j] < nums[i]$，说明 $nums[i]$ 可以接在 $nums[j]$ 后面。
• 我们要从这些能接的位置里，挑一个本来就最长的。

因为这种 “回头看所有前面状态” 的特性，所以被称为“中间找子结构”或“扫描式 DP”。

为了回看“所有前面的状态”，就需要 使用二维数组把状态记忆化 以及 从简单的初始边界条件开始递推 !

---

3. 核心逻辑与状态转移方程 ($O(N^2)$)

状态定义

$dp[i]$ 表示：必须以 nums[i] 这个数结尾的最长上升子序列的长度。 (注意：一定是包含 nums[i] 的)

状态转移方程

对于每一个 $i$，我们需要遍历 $j$ ($0 \le j < i$)：

$$dp[i] = \max(dp[j]) + 1, \quad \text{其中 } nums[j] < nums[i] $$

• 如果找不到任何比 $nums[i]$ 小的 $nums[j]$，则 $dp[i] = 1$（只有它自己）。

最终答案

答案不是 $dp[n-1]$，而是整个 $dp$ 数组中的最大值：$\max(dp[0 \dots n-1])$。

---

4. 代码模板 (C++)

这是最基础的 $O(N^2)$ 写法，也是理解 DP 思想的最佳模板。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> nums(n);
    for(int i = 0; i < n; i++) cin >> nums[i];

    // dp[i] 初始化为 1，因为每个元素本身至少长度为 1
    vector<int> dp(n, 1);
    int ans = 1; // 记录全局最大值

    for (int i = 1; i < n; i++) {       // 枚举当前结尾的元素
        for (int j = 0; j < i; j++) {   // “中间找”：回头扫描前面的元素
            if (nums[j] < nums[i]) {    // 如果能接上
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
            }
        }
        ans = max(ans, dp[i]); // 更新全局最大值
    }

    cout << ans << endl;
    return 0;
}

---

5. 进阶：$O(N \log N)$ 贪心 + 二分法

在实际面试或竞赛中，如果数据范围 $N > 5000$，上面的 $O(N^2)$ 会超时。LIS 有一个经典的优化解法，虽不属于纯 DP，但非常重要。

核心思想（贪心）：

• 如果我们要让上升子序列尽可能长，那么序列中的数字应该尽可能小，这样后面才容易接上更大的数。
• 我们维护一个数组 tails，其中 tails[k] 存储长度为 k+1 的上升子序列的最小结尾元素。
• 遍历 nums 时，通过二分查找更新 tails 数组。

(这也是洛谷 P1020 导弹拦截 必须掌握的解法)

---

6. LIS 模型的经典变种

理解了 LIS，你就能解决一系列变种题：

1. 最长不下降子序列：
   • 条件变成 $nums[j] \le nums[i]$。
2. 合唱队形 (洛谷 P1091)：
   • 先上升后下降。
   • 解法：求一遍正向 LIS ($dp1$)，再求一遍反向 LIS ($dp2$)，答案就是 $\max(dp1[i] + dp2[i] - 1)$。
3. 俄罗斯套娃信封 (LeetCode 354)：
   • 二维的 LIS。
   • 解法：先按宽度排序，如果宽度相同按高度降序，然后对高度求 LIS。
4. 最少拦截系统 (Dilworth 定理)：
   • 洛谷 P1020 的第二问。
   • 定理：一个序列的最少下降子序列划分数 = 该序列的最长上升子序列长度。

总结： LIS 模型是 DP 入门到进阶的必修课，它教会了我们 “状态不仅仅可以只看前一个，还可以回头看前面所有” 这一重要思维。

---

动态规划循序渐进洛谷题单2

作为OI金牌教练，我为你精心设计了这份动态规划题单，涵盖从入门到进阶的全部核心知识点。每个阶段都有明确的学习目标和精选题目，帮助你系统掌握DP思想。

🏆 学习建议

• 每个阶段至少完成80%的题目再进入下一阶段
• 先独立思考，再参考题解
• 总结每道题的状态定义和转移方程
• 定期回顾已做题目，加深理解

📚 第一阶段：线性DP（基础）

学习目标：掌握DP的基本思想，理解状态定义和转移方程
核心概念：状态、转移方程、边界条件、最优子结构

题目编号	题目名称	难度	知识点
P1216	数字三角形	普及-	DP入门、递推
P1002	过河卒	普及/提高-	路径计数、无障碍DP
P1044	栈		Catalan数、状态转移
P1025	数的划分		整数划分、状态设计
P1077	摆花		限制条件的计数DP
P1115	最大子段和	普及-	经典线性DP、状态优化
P1280	尼克的任务	普及/提高-	逆向思维DP
P1466	集合 Subset Sums		01背包思想的应用

🎒 第二阶段：背包问题（重点）

学习目标：掌握各类背包问题的建模和优化方法
核心概念：01背包、完全背包、多重背包、分组背包

题目编号	题目名称	难度	知识点
P1048	采药	普及-	01背包模板
P1616	疯狂的采药	普及/提高-	完全背包模板
P1060	开心的金明		01背包变形、价值最大化
P1064	金明的预算方案	提高/省选-	分组背包、依赖背包
P1833	樱花		多重背包优化
P1776	宝物筛选		二进制优化
P3188	[HNOI2007]梦幻岛宝珠	省选/NOI-	分组背包、状态压缩
P2925	[USACO08DEC]Patting Heads S	普及+/提高	完全背包思想的计数应用

📊 第三阶段：区间DP

学习目标：掌握区间上的动态规划问题
核心概念：区间状态定义、合并转移、区间枚举顺序

题目编号	题目名称	难度	知识点
P1435	回文字串	普及+/提高	最长回文子序列
P1220	关路灯	提高+/省选-	区间DP、状态记录位置
P1880	石子合并	提高/省选-	经典区间DP、环形处理
P4170	涂色	提高+/省选-	区间DP、状态合并
P2470	压缩	省选/NOI-	区间DP、状态设计
P3205	合唱队	提高+/省选-	区间DP、方向状态
P4302	道路相遇	省选/NOI-	区间DP、LCA

🌳 第四阶段：树形DP

学习目标：掌握在树上进行动态规划的方法
核心概念：子树状态、根节点转移、树的遍历顺序

题目编号	题目名称	难度	知识点
P1352	没有上司的舞会	普及+/提高	树形DP入门、选/不选
P1122	最大子树和		树形DP、子树贡献
P2015	二叉苹果树	提高/省选-	树形背包
P1273	有线电视网	提高+/省选-	树形DP、分组背包
P2458	保安站岗		树形DP、三种状态
P3174	[HAOI2009]毛毛虫		树形DP、最长链
P4211	树上的数	省选/NOI-	树形DP、状态设计

🎯 第五阶段：状态压缩DP

学习目标：掌握用二进制表示状态的动态规划方法
核心概念：状态压缩、位运算、状态转移优化

题目编号	题目名称	难度	知识点
P1433	吃奶酪	普及+/提高	状态压缩DP入门
P1896	互不侵犯	提高/省选-	状压DP、行转移
P2704	炮兵阵地	提高+/省选-	状压DP、状态压缩优化
P3694	邦邦的大合唱站队		状压DP、费用提前计算
P3195	玩具装箱	提高/省选-	单调队列优化DP
P4163	[SCOI2007]排列	省选/NOI-	状压DP、数位限制
P4640	[IOI2014]wall砖墙		状压DP、滚动数组

🔢 第六阶段：数位DP

学习目标：掌握处理数字计数问题的动态规划方法
核心概念：数位分解、状态记录、记忆化搜索

题目编号	题目名称	难度	知识点
P2602	数字计数	提高/省选-	数位DP入门
P3413	SAC#1 - 萌数		数位DP、回文判断
P4127	同类分布	提高+/省选-	数位DP、模运算
P4999	烦人的数学作业	提高/省选-	数位DP、数字和
P3281	[SCOI2013]数数	省选/NOI-	数位DP、高精度
P5104	红包发红包		数位DP、期望

⭐ 第七阶段：高级DP技巧

学习目标：掌握复杂问题的DP建模和优化方法
核心概念：优化技巧、多维DP、状态设计

题目编号	题目名称	难度	知识点
P2051	中国象棋	提高+/省选-	状态压缩、二维DP
P2150	寿司晚宴	省选/NOI-	状压DP、博弈论
P3206	[HNOI2010]城市建设		动态树分治、DP
P4363	[九省联考2018]一双木棋		状压DP、博弈论
P5020	货币系统	提高+/省选-	完全背包、数学优化
P5325	[BJOI2019]删数	省选/NOI-	区间DP、栈优化

📈 进阶挑战：NOI/IOI真题

完成前七个阶段后，可以挑战这些更高难度的题目：

题目编号	题目名称	难度
P4052	环形珍珠	NOI/IOI-
P4290	玩具装箱
P5023	树屋阶梯
P5158	[USACO18DEC]Convention II
P5298	[PKUWC2018]Minimax

💡 教练寄语

• 动态规划的核心是状态定义和转移方程，这需要大量练习来培养直觉
• 遇到难题时，先尝试简化问题，再逐步增加复杂度
• 学会从问题中抽象出DP模型，这是DP学习的关键
• 定期总结不同类型DP的共性和特点，形成自己的知识体系

祝你在动态规划的学习道路上越走越远！🏆